在中分别是上的点满足且经过的重心将沿折起到的位置使是的中点如图所示求证平面求与平面所成角的大小在线段上是否存在点不与端点重合使平面与平面垂直若存在求出与的比值若不存在请说明理由

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171847. （2022•西安中学•高二上期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，M是A₁D的中点，如图所示．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）在线段A₁B上是否存在点N（N不与端点A₁、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出A₁N与BN的比值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-11-28 难度:3

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[考点]

直线与平面垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，

[答案]

（1）见上述证明过程，

（2）CM与平面A₁BE所成角为

；

（3）存在，

．

[解析]

证明：（1）由∠C＝90°，DE∥BC，
所以 DE⊥AD，DE⊥CD，
因为折起前后对应角相等，所以DE⊥A₁D，所以DE⊥平面A₁CD，DE⊥A₁C，
又A₁C⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A₁C⊥平面BCD，
解：（2）因为DE经过△ABC的重心，
所以DE＝

BC＝2，
由（1）知A₁C⊥平面BCDE，以CD为x轴，CB为y轴，CA₁为z轴，建立空间直角坐标系，

由几何关系可知，CD＝2，A₁D＝4，

，
故C（0，0，0），D（2，0，0），E（2，2，0），B（0，3，0），A₁（0，0，

），M（1，0，

），

，

＝（2，2，

），
设平面A₁BE的法向量为

＝（x，y，z），
则

，即

，
令y＝2，则

，

，
设CM与平面A₁BE所成角的大小为θ，
则有sinθ＝|cos＜

，

＞|＝

＝

，
故

，
即CM与平面A₁BE所成角的大小为

；
（3）设

，
即

，
即x₁＝0，y₁＝3（1﹣λ），

，
则N（0，3（1﹣λ），

），

，

＝（0，3（1﹣λ），

），
设平面CMN的法向量为

＝（x₂，y₂，z₂），
则有

，即

，
令

，

＝

，
同理，设平面DEN的法向量为

，

＝（﹣2，3（1﹣λ），

λ），
则

，即

，
令x＝

，则

，
故

，
若平面CMN与平面DEN垂直，
则满足

，
即

，
故存在这样的点，

，
所以

．．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167237. （2023•周至六中•高二上一月）已知四棱锥P﹣ABCD（如图），四边形ABCD为正方形，面PAB⊥面ABCD，PA＝PB＝AB＝2，M为AD中点．
（1）求证：PC⊥BM；
（2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．

共享时间:2023-10-26 难度:2 相似度:1.67

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168102. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:1.67

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167785. （2024•西安一中•三模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，M为AC的中点，MB₁⊥AB．
（1）证明：MC₁⊥AB．
（2）若

，求直线B₁C与平面MB₁C₁所成角的正弦值．

共享时间:2024-04-07 难度:2 相似度:1.67

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166958. （2023•师大附中•高二上一月）如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，O，M，N分别为线段BC，AA₁，BB₁的中点，P为线段AC₁上的动点，AA₁＝16，AC＝8．
（1）若

，试证：C₁N⊥CM；
（2）在（1）的条件下，当AB＝6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB₁C₁C所成角的正弦值最大．

共享时间:2023-10-18 难度:2 相似度:1.67

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168056. （2023•长安区一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的菱形．

，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B₁BD与棱A₁C₁交于点E．
（1）求证：BB₁∥DE；
（2）若

，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∠A₁AC＝60°，求直线BC与平面B₁BDE所成角的正弦值．

共享时间:2023-03-28 难度:2 相似度:1.67

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168079. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-27 难度:2 相似度:1.67

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166681. （2024•高新一中•高二上二月）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝AC＝2，AD＝DF＝FC＝1，N为DF的中点，二面角D﹣AC﹣B的大小为θ．
（1）证明：AC⊥BN；
（2）当θ为何值时，直线AD与平面BEFC所成角的正弦值为

？

共享时间:2024-12-27 难度:2 相似度:1.67

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166797. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝

PC．
（Ⅰ）证明：平面QBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:1.67

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168194. （2023•西工大附中•八模）如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE、△DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DCE；
（Ⅱ）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:1.67

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166466. （2024•铁一中学•高三上三月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁与BB₁的距离为

，AB＝AC＝A₁B＝2，A₁C＝BC＝2

．
（1）证明：平面A₁ABB₁⊥平面ABC；
（2）若点N在棱A₁C₁上，求直线AN与平面A₁B₁C所成角的正弦值的最大值．

共享时间:2024-01-29 难度:2 相似度:1.67

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166430. （2024•西光中学•高二上一月）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝

．
（1）证明：BD⊥PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:1.67

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167326. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2023-12-21 难度:3 相似度:1.34

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167830. （2024•长安区一中•一模）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．
（Ⅰ）证明：FN⊥AD；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．