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2023-2024学年陕西省西安市长安一中高三（上）第二次质检数学试卷（文科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设集合A＝{x|x＜2或x＞3}，B＝{x|e^x^﹣1﹣1＜0}，则A∩B＝（　　）

A.（﹣∞，1）

B.（﹣2，1）

C.．（2，1）

D.（3，+∞）

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2. （本题5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）

A.（﹣∞，1）

B.（﹣∞，﹣1）

C.．（1，+∞）

D.（﹣1，+∞）

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3. （本题5分）一名篮球运动员在最近8场比赛中所得分数的茎叶图如图所示，则该运动员这8场比赛得分的平均数和中位数分别为（　　）

A.18.5，19

B.19，19

C.．19，18.5

D.18，18.5

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4. （本题5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

A.60

B.30

C.．20

D.．10

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5. （本题5分）已知等比数列{a_n}的前3项和为168，a₂﹣a₅＝42，则a₆＝（　　）

A.14

B.．12

C.．6

D.．3

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6. （本题5分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（　　）

D.．

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7. （本题5分）已知单位向量

与

的夹角为α，且cosα＝

，向量

＝3

﹣2

与

＝3

﹣

的夹角为β，则cosβ等于（　　）

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8. （本题5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）

A.9

B.．8

C.7

D.．6

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9. （本题5分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（

）＝2，f（

）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A.ω＝，φ＝	B.ω＝，φ＝﹣
C.ω＝，φ＝﹣	D.ω＝，φ＝

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10. （本题5分）已知双曲线C：

的离心率为

，C的一条渐近线与圆（x﹣2）²+（y﹣3）²＝1交于A，B两点，则|AB|＝（　　）

D.．

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11. （本题5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（log₅2），

，c＝g（log₈3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a＜b＜c

B.．c＜b＜a

C.b＜a＜c

D.b＜c＜a

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12. （本题5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（　　）

C.．

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）若y＝（x﹣1）²+ax+sin（x+

）为偶函数，则a＝　　．

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14. （本题5分）等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀＝0，S₁₅＝25，则n+S_n的最小值为　　．

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15. （本题5分）设抛物线

的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设

，AF与BC相交于点D．若|CF|＝|AF|，则△ACD的面积为　．

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16. （本题5分）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）e^x的两条切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则t的取值范围是　　．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

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18. （本题12分）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB＝

（sinA+cosB）．
（1）若C＝

，求A；
（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．

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19. （本题12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．

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20. （本题12分）已知椭圆W：

＝1的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
（Ⅰ）求椭圆W的方程及离心率；
（Ⅱ）求四边形ACBD面积的最大值．

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21. （本题12分）已知函数f（x）＝lnx+ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）﹣xe^x≤0恒成立，求a的取值范围．（参考数据：

，ln2≈0.7）

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22. （本题10分）如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以

和

为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为

的射线分别交⊙C₁于O、A两点，交⊙C₂于O、B两点．
（1）写出⊙C₁与⊙C₂的极坐标方程；
（2）求△OAB面积最大值．

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23. （本题0分）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝4，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|在R上的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a²+mb²≥tab恒成立，求实数t的取值范围．

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dygzsxyn

2023-12-21

高中数学 | 考试 | 难度:1.7

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