如图在三棱锥中为线段的中点为线段上一点求证求证平面平面当平面时求三棱锥的体积

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167326. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2023-12-21 难度:3

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直，平面与平面垂直，

[答案]

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[解析]

解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD⊂平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB＝BC，D为线段AC的中点，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面PAC∩平面ABC＝AC，
BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD⊂平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE＝DE，
可得PA∥DE，
又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE＝

PA＝1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S_△BDC＝

S_△ABC＝

×2×2＝1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为

DE•S_△BDC＝

×1×1＝

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直，平面与平面垂直，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

261. （2014•陕西省•真题）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．

共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:1.67

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167647. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA∥平面BDE，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:1.67

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167807. （2024•西安一中•二模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且

，|PA|＝2．
（1）求三棱锥B﹣ACP的体积；
（2）求证：AB⊥PC．

共享时间:2024-03-29 难度:2 相似度:1.67

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19749. （2021•陕西省•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1.67

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168171. （2023•西工大附中•八模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的所有棱长均为2，∠B₁BA＝

．
（Ⅰ）证明：B₁C⊥ABC₁；
（Ⅱ）若平面ABB₁A₁⊥平面ABC，M为A₁C₁的中点，求四棱锥B₁﹣ACC₁M的体积．

共享时间:2023-06-15 难度:2 相似度:1.67

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167430. （2023•雁塔二中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3

，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABP；
（2）求证：平面AEF⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:1.34

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167854. （2024•西工大附中•模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为棱PC上的动点且

．
（Ⅰ）求证：△PBC为直角三角形；
（Ⅱ）试确定λ的值，使得三棱锥P﹣AMD的体积为

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:1.33

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167370. （2024•长安区•高二下一月）将一条长为6的铁丝截成9段，拼成一个正三棱柱，求该三棱柱体积的最大值．

共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:1.33

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166857. （2024•西安八十五中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA₁＝

．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BM；
（2）求证：AC₁⊥平面A₁BM；
（3）在棱BB₁上是否存在点N，使得平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C？如果存在，求此时

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.33

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167785. （2024•西安一中•三模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，M为AC的中点，MB₁⊥AB．
（1）证明：MC₁⊥AB．
（2）若

，求直线B₁C与平面MB₁C₁所成角的正弦值．

共享时间:2024-04-07 难度:2 相似度:0.83

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168250. （2021•西安中学•五模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2

，PA＝2．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2021-05-01 难度:2 相似度:0.83

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167670. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，直线C₁B⊥平面ABC，平面AA₁ C₁C⊥平面BB₁C₁C．
（1）求证：AC⊥BB₁；
（2）若AC＝BC＝BC₁＝2，在棱A₁B₁上是否存在一点P，使二面角P﹣BC﹣C₁的余弦值为

？若存在，求

的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-03-11 难度:2 相似度:0.83

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167739. （2024•西安一中•四模）如图，几何体ABC﹣DEF为三棱台．
（1）证明：DE∥平面ABF．
（2）已知平面ACFD⊥平面DEF，AC⊥BC，AC＝AD＝CF＝6，BC＝3，DF＝12，求三棱台ABC﹣DEF的体积．
参考公式：台体的体积

，其中S₁，S₂分别为台体的上底面面积、下底面面积，h为台体的高．

共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:0.83

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168102. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:0.83

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168194. （2023•西工大附中•八模）如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE、△DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DCE；
（Ⅱ）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:0.83

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2023-12-21

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2023-2024学年陕西省西安市长安一中高三（上）第二次质检数学试卷（文科）

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