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2023-2024学年陕西师大附中高二（上）第一次月考数学试卷

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共48分)

1. （本题4分）设z＝

，则

＝（　　）

A.1﹣2i

B.1+2i

C.2﹣i

D.．2+i

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2. （本题4分）直线l₁：x+ay+2a＝0和直线l₂：（a﹣2）x+3y＝0互相平行，则实数a的值为（　　）

A.a＝﹣3

C.a＝1或a＝3

D.a＝﹣1或a＝3

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3. （本题4分）从圆（x﹣1）²+（y﹣1）²＝1外一点P（2，3）向圆引切线，则此切线的长是（　　）

B.2

D.．

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4. （本题4分）已知空间中三点A（﹣1，0，0），B（0，1，﹣1），C（﹣2，﹣1，2），则点C到直线AB的距离为（　　）

A.．

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5. （本题4分）关于x的方程

﹣kx﹣2＝0有唯一解，则实数k的范围是（　　）

A.k＝

B.k∈（﹣2，2）

C.k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

D.k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）∪{﹣，}

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6. （本题4分）椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，点P，Q均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为

，则C的离心率为（　　）

A.．

D.．

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7. （本题4分）已知两定点A（﹣2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y＝x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）

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8. （本题4分）已知斜率不为0的直线l过椭圆C：

+y²＝1的左焦点F且交椭圆于A，B两点，y轴上的点M满足|MA|＝|MB|，则

的取值范围为（　　）

A.（

，

]

B.（

，

）

C.（

，

）

D.[

，+∞）

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9. （本题4分）已知O为坐标原点，点P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，﹣sinβ），P₃（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（　　）

A.	B.
C.	D.

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10. （本题4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱A₁D₁，AA₁，CD的中点，则（　　）

A.．

B.B₁G⊥平面BEF

C.．直线AB交平面EFC于点P，则AP＝AB

D.．点A₁到平面BEF的距离为

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11. （本题4分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知O（0，0），A（3，0），点P满足

，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（　　）

A.圆C的方程是（x+1）²+y²＝4

B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为

C.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线距离为1，该直线斜率为

D.在直线x＝﹣1上存在两点D，E，使得

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12. （本题4分）已知直线l：x+y﹣4＝0和曲线O：x²+y²＝4，点A是直线l上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B、C，则下列说法正确的是（　　）

A.|AB|的最小值为2

B.曲线O上存在2个点到直线l的距离等于

C.若曲线O上总存在点D，使得∠OAD＝30°，则A的横坐标的取值范围是[0，4]

D.直线BC过定点（1，1）

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二、填空题(4小题共16分)

13. （本题4分）某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，已知各组频数之比为1：3：7：5：4，那么成绩的第70百分位数约为　秒．

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14. （本题4分）已知F（﹣1，0），B是圆C：（x﹣1）²+y²＝16上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P．则动点P的轨迹方程为　．

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15. （本题4分）已知正四面体P﹣ABC内接于球，D为棱AB上点，满足AD＝3DB．若存在过D点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为　．

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16. （本题4分）已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过右焦点F₂且斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足

，则椭圆的离心率为　．

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三、解答题(5小题共56分)

17. （本题10分）已知△ABC的顶点A（5，1），边AB上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，边AC上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．

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18. （本题10分）在①2sinA﹣sinB＝2sinCcosB，②（a+c）（sinA﹣sinC）＝sinB（a﹣b），③S_△ABC＝

c（asinA+bsinB﹣csinC）这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ____．
（1）求角C；
（2）若c＝2，求2a﹣b的取值范围．

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19. （本题12分）已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F（2，0），且离心率为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程．

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20. （本题12分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，O，M，N分别为线段BC，AA₁，BB₁的中点，P为线段AC₁上的动点，AA₁＝16，AC＝8．
（1）若

，试证：C₁N⊥CM；
（2）在（1）的条件下，当AB＝6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB₁C₁C所成角的正弦值最大．

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21. （本题12分）已知椭圆

的离心率为

，焦距为2．
（1）求Ω的标准方程．
（2）过Ω的右焦点F作相互垂直的两条直线l₁，l₂（均不垂直于x轴），l₁交Ω于A，B两点，l₂交Ω于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．

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2023-10-18

高中数学 | 段考 | 难度:1.52

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