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2024-2025学年陕西省西安市华清中学高二（上）第一次月考数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）经过A（2，0），B（5，3）两点的直线的倾斜角（　　）

A.45°

B.135°

C.90°

D.60°

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2. （本题5分）已知集合M＝{x|y＝lg（2x﹣3）}，N＝{y|y＞1}，则M∩N＝（　　）

C.（1，+∞）

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3. （本题5分）若

，则

＝（　　）

A.﹣1

C.1

D.．3

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4. （本题5分）若正实数x，y满足3x+12y﹣2xy＝0，则

的最大值为（　　）

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5. （本题5分）已知空间向量

＝（3，0，4），

＝（﹣3，2，5），则向量

在向量

上的投影向量是（　　）

A.（﹣3，2，5）	B.（﹣3，2，5）
C.．（3，0，4）	D.（3，0，4）

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6. （本题5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，

，

，点P在A₁C上，且

，则

＝（　　）

A.	B.．
C.	D.

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7. （本题5分）直线l的倾斜角是直线5x+12y﹣1＝0倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（　　）

A.5x+y﹣10＝0

C.．

D.5x﹣y﹣1＝0

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8. （本题5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，

，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log_a（x+2）＝0（0＜a＜1）恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）下列说法中正确的是（　　）

A.．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B.若A（1，﹣3），B（1，3），则直线AB的倾斜角为90°

C.．若直线过点（1，2），且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点（3，4）

D.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα

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10. （本题6分）下列等式成立的是（　　）

A.sin²75°﹣cos²75°＝	B.sin15°+cos15°＝
C.sin75°cos75°＝	D.．

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11. （本题6分）在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若棱长为1，点E，F分别为线段B₁D₁、BC₁上的动点，则下列结论正确结论的是（　　）

A.DB₁⊥面ACD₁

B.面A₁C₁B∥面ACD₁

C.点F到面ACD₁的距离为定值

D.直线AE与面BB₁D₁D所成角的正弦值为定值

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）若直线（k+1）x﹣y+2＝0的倾斜角为135°，则k＝　　．

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13. （本题5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为　．

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14. （本题5分）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：

可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）＝

的最小值为　　．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

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16. （本题15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinC+sinB）（c﹣b）＝a（sinA﹣sinB）．
（1）求角C的大小；
（2）设c＝3，

，求△ABC的周长．

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17. （本题15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，∠ADC＝45°，PA⊥，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，AD＝3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小．
（2）求直线AD到平面PBC的距离．

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18. （本题17分） 2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．

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19. （本题17分）如图，三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面四边形ACC₁A₁为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且AC＝2A₁C₁＝2．设D为棱A₁C₁上的点．
（1）若D为A₁C₁的中点，求证：AC⊥BD；
（2）若三棱台ABC﹣A₁B₁C₁的体积为

，且侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，试探究是否存在点D，使直线BD与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为

？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．

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dygzsxyn

2024-10-12

高中数学 | 考试 | 难度:1.42

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