如图在四棱锥中底面为直角梯形平面求异面直线与所成角的大小求直线到平面的距离

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166586. （2024•华清中学•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，∠ADC＝45°，PA⊥，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，AD＝3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小．
（2）求直线AD到平面PBC的距离．

共享时间:2024-10-12 难度:2

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[考点]

异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，

[答案]

（1）

；（2）

．

[解析]

解：（1）∠ADC＝45°，AB＝2，AD＝3，
可得BC＝AD﹣AB＝3﹣2＝1，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，3，0），

，
设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ＝|

|＝

＝

，
所以异面直线PB与CD所成角大小为

；
（2）由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
可得AD∥平面PBC，
则直线AD到平面PBC的距离即为点A到平面PBC的距离．
设平面PBC的法向量为

，
由

•

＝

•

＝0，即2x﹣2z＝y＝0，取x＝1，得

＝（1，0，1），
又

，
则点A到平面PBC的距离为d＝

＝

，
即直线AD到平面PBC的距离为

．

[点评]

本题考查了"异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167214. （2023•周至四中•高二上一月）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．

共享时间:2023-10-15 难度:2 相似度:2

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232656. （2023•鄠邑二中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（2）求点D到平面PBC的距离．

共享时间:2023-10-11 难度:2 相似度:2

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167127. （2023•西安中学•高二上一月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁＝1，M为线段A₁C₁上一点．
（1）求证：BM⊥AB₁；
（2）若直线AB₁与平面BCM所成角为

，求点A₁到平面BCM的距离．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:1.5

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167563. （2023•关山中学•高二上一月）已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：
（1）线段AB的中点坐标和线段AB长度；
（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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171984. （2023•唐南中学•高一下期中）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、AA₁的中点．
（1）证明：EFD₁C是梯形；
（2）求异面直线EF与BC₁所成角．

共享时间:2023-05-27 难度:1 相似度:1.5

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169719. （2023•师大附中•高一下期末）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝

，AB＝2CD＝2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）求点A到平面PBC的距离．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.5

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168227. （2021•西安中学•四模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求点C到平面C₁DE的距离．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

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168274. （2021•西安中学•五模）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上，AN＝λAP（λ＞0），且MN∥平面PCD．
（1）求实数λ的值；
（2）若

，∠BAD＝60°，求点N到平面PCD的距离．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.5

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232718. （2024•高新一中•高一下二月）如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，O为△A₁B₁C₁的重心，D是棱CC₁上的一点，且OD∥平面A₁B₁C．
（1）证明：

；
（2）若AA₁＝2A₁B₁＝12，求点D到平面B₁AC的距离．

共享时间:2024-06-11 难度:1 相似度:1.5

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231702. （2015•西安八十三中•二模）如图，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在线段CA₁上，且不与点C、A₁重合．
（1）若

＝4

，求平面AEF与平面ACF的夹角的余弦值；
（2）求点F到直线AB距离d的最小值．

共享时间:2015-03-15 难度:2 相似度:1

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170418. （2022•长安区一中•高二上期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2AD，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点B到平面PDE的距离．