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德优网2024陕西省西安市碑林区铁一中学高中数学考试月考高二上

2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高二（上）第一次月考数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）已知集合A＝{x|y＝log₂（3x﹣1）}，B＝{y|x²+y²＝4}，则A∩B＝（　　）

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2. （本题5分）若复数z满足

，则|z|＝（　　）

A.．

B.．

C.．

D.．

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3. （本题5分）某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用如图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用如图中的（2）所示．则以下结论中，正确的是（　　）

A.甲校运动员得分的中位数为7.5

B.乙校运动员得分的75%分位数为10

C.甲校运动员得分的平均数大于8

D.甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差

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4. （本题5分）已知

＝（﹣1，9，1），

＝（m，﹣3，2），

＝（0，2，1），若{

，

}不能构成空间的一个基底，则m＝（　　）

A.．3

B.1

C.5

D.7

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5. （本题5分）已知直线l₁：2x+（1﹣a）y+4＝0，l₂：ax﹣3y﹣4＝0，则“a＝3”是“l₁∥l₂”的（　　）

A.充分不必要条件	B.必要不充分条件
C.充要条件	D.既不充分也不必要条件

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6. （本题5分）设直线l的方程为y﹣xcosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）

A.	B.
C.	D.

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7. （本题5分）方程|x|﹣1＝

所表示的图形是（　　）

A.一个半圆

B.一个圆

C.两个半圆

D.两个圆

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8. （本题5分）如果直线ax+by＝7（a＞0，b＞0）和函数f（x）＝1+log_mx（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x+b﹣1）²+（y+a﹣1）²＝25的内部或圆上，那么

的取值范围是（　　）

A.	B.
C.	D.

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）下列说法中，正确的有（　　）

A.直线x+y+1＝0在y轴上的截距是1

B.当m变化时，圆x²+y²+（m+2）x+y﹣2＝0恒过定点有且只有一个

C.过（x₁，y₁），（x₂，y₂）两点（x₁≠x₂，y₁≠y₂）的所有直线的方程为

D.直线2x﹣y+3＝0关于点（3，2）对称的直线方程是2x﹣y﹣11＝0

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10. （本题6分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，G为△A₁B₁C₁的重心，

，若

，AB＝AA₁＝1，则（　　）

A.	B.
C.∥	D.

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11. （本题6分）已知圆M：x²+y²﹣2x﹣2y﹣2＝0，P为直线2x+y+2＝0上一动点，过P作圆M的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法中正确的是（　　）

A.PM的最小值为

B.直线AB恒过定点

C.的最小值为

D.AB的最小值为

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）经过点M（1，2）且与直线2x﹣y+8＝0垂直的直线方程为　　．

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13. （本题5分）已知点（4a，2b）（a＞0，b＞0）在圆C：x²+y²＝4和圆M：（x﹣2）²+（y﹣2）²＝4的公共弦上，则

的最小值为　　．

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14. （本题5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝2AD＝2AA₁＝6，点E在棱AB上，BE＝2AE，动点P满足BP＝

PE．若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为　　；若点P在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁内部运动，F为棱C₁D₁的中点，M为CP的中点，则三棱锥M﹣B₁CF的体积的最小值为　．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）已知函数

，
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）＝2，

，b+c＝5，求△ABC的面积S．

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16. （本题15分）已知圆C：（x﹣4）²+y²＝r²（r＞0），两点A（﹣3，0）、B（﹣5，0）．
（1）若r＝6，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；
（2）若圆C上存在点P，使得|PA|²+|PB|²＝10，求圆C半径r的取值范围．

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17. （本题15分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为

，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为

，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为

，且任意两次射击互不影响．
（1）分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；
（2）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；
（3）若乙想击中目标的概率不低于

，乙至少需要射击多少次？（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

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18. （本题17分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB＝4，AB⊥AC，PB⊥AC．请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求PD与平面PAB所成角的大小；
（2）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为

？若存在，求

的值；若不存在，说明理由．

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19. （本题17分）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M的方程为x²+（y﹣b）²＝r²，直线x＝my与圆M交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线x＝ny与圆M交于E（x₃，y₃），F（x₄，y₄）．原点O在圆M内．设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q．
（1）当b＝0，

，

，n＝2时，分别求线段OP和OQ的长度；
（2）①求证：

．
②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明．

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dygzsxyn

2024-10-27

高中数学 | 考试 | 难度:1.53

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