蝴蝶定理因其美妙的构图像是一只翩翩起舞的蝴蝶一代代数学名家蜂拥而证正所谓花若芬芳蜂蝶自来如图已知圆的方程为直线与圆交于直线与圆交于原点在圆内设交轴于点交轴于点当时分别求线段和的长度求证猜想和的大小关系并证明

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166488. （2024•铁一中学•高二上一月）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M的方程为x²+（y﹣b）²＝r²，直线x＝my与圆M交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线x＝ny与圆M交于E（x₃，y₃），F（x₄，y₄）．原点O在圆M内．设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q．
（1）当b＝0，

，

，n＝2时，分别求线段OP和OQ的长度；
（2）①求证：

．
②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明．

共享时间:2024-10-27 难度:1

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组卷

[考点]

直线和圆的方程的应用，

[答案]

（1）

（2）①证明见解析；②猜测|OP|＝|OQ|，证明见解析．

[解析]

解：（1）当b＝0，

，

，n＝2时，
圆M：x²+y²＝5，
直线CD：

，由

⇒

或

，故C（﹣1，2），D（1，﹣2）；
直线EF：x＝2y，由

⇒

或

，故E（2，1），F（﹣2，﹣1）．
所以直线CF：

，令y＝0，得

，即

；
直线ED：

，令y＝0，得

，即

．
所以

．
（2）①证明：由题意：b²＜r²．
由

⇒（my）²+（y﹣b）²＝r²⇒（m²+1）y²﹣2by+b²﹣r²＝0，
则y₁，y₂是该方程的两个解，
由韦达定理得：

，

，
所以

．
同理可得：

，所以

．
②猜测|OP|＝|OQ|，证明如下：
设点P（p，0），Q（q，0）．
因为C，P，F三点共线，所以：

⇒

，
又因为点C在直线x＝my上，所以x₁＝my₁；点F在直线x＝ny上，所以x₄＝ny₄．
所以

；
同理因为E，Q，D三点共线，可得：

．
由①可知：

⇒

，
所以

＝

＝0．
即p＝﹣q，所以|OP|＝|OQ|成立．

[点评]

本题考查了"直线和圆的方程的应用，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2021-02-28 难度:5 相似度:2

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dygzsxyn

2024-10-27

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