已知函数其中求函数的单调区间若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行证明

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166368. （2024•长安区一中•高三上四月）已知函数f（x）＝a^x，g（x）＝log_ax，其中a＞1．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna的单调区间；
（2）若曲线y＝f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x₂，g（x₂））处的切线平行，证明x₁+g（x₂）＝﹣

．

共享时间:2024-02-12 难度:2

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[考点]

利用导数求解函数的单调性和单调区间，利用导数求解曲线在某点上的切线方程，

[答案]

（1）单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；

（2）证明见解答过程．

[解析]

解：（1）由已知，h（x）＝a^x﹣xlna，有h′（x）＝a^xlna﹣lna，
令h′（x）＝0，解得x＝0．
由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，+∞）
h′（x）	﹣	0	+
h（x）	↓	极小值	↑

∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；
（2）证明：由f′（x）＝a^xlna，可得曲线y＝f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线的斜率为

lna．
由g′（x）＝

，可得曲线y＝g（x）在点（x₂，g（x₂））处的切线的斜率为

．
∵这两条切线平行，故有

，即

，
两边取以a为底数的对数，得log_ax₂+x₁+2log_alna＝0，
∴x₁+g（x₂）＝﹣

．

[点评]

本题考查了"利用导数求解函数的单调性和单调区间，利用导数求解曲线在某点上的切线方程，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

231869. （2025•曲江二中•高二下一月）已知函数

．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线5x﹣2y+1＝0垂直，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求实数k的取值范围．

共享时间:2025-04-15 难度:2 相似度:2

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230610. （2025•临潼区•二模）已知函数

．
（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a变化时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率能否为1？若能，求a的值，若不能，说明理由．

共享时间:2025-03-24 难度:2 相似度:2

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169677. （2024•西电附中•高二上期末）已知函数

．
（1）若a＝﹣4，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最小值．

共享时间:2024-02-14 难度:3 相似度:1.67

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170877. （2025•师大附中•高二下期中）已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知函数

，求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意

，都有f（x）≤ax﹣e（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．

共享时间:2025-04-26 难度:3 相似度:1.67

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236218. （2017•西安中学•高二上期末）已知函数f（x）＝x³+ax²+bx+c在x＝﹣

与x＝1时都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

共享时间:2017-02-08 难度:1 相似度:1.5

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236196. （2018•西安中学•高二下期末）已知函数f（x）＝x³+ax²+bx+c在x＝﹣

与x＝1时都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

共享时间:2018-07-08 难度:1 相似度:1.5

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232550. （2024•经开一中•高二下一月）已知函数f（x）＝﹣x²+ax﹣lnx﹣1．
（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（2，4）上单调递减，求实数a的取值范围．

共享时间:2024-04-16 难度:1 相似度:1.5

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232111. （2024•西工大附中•高二下一月）已知函数

．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在

成立，求整数a的最小值．

共享时间:2024-04-28 难度:1 相似度:1.5

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231867. （2025•曲江二中•高二下一月）已知函数f（x）＝3x³﹣9x+5．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．

共享时间:2025-04-15 难度:1 相似度:1.5

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231244. （2016•西工大附中•九模）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝x²+2ax+b（ab≠0），且f（0）＝0．设曲线y＝f（x）在原点处的切线l₁的斜率为k₁，过原点的另一条切线l₂的斜率为k₂．
（1）若k₁：k₂＝4：5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k₂＝tk₁时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）＜f（1﹣2t）成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2016-06-18 难度:1 相似度:1.5

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230935. （2017•西工大附中•八模）已知函数f（x）＝e^t^（x﹣1）﹣tlnx（常数t＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与直线y＝tx相切，证明：t＜2．

共享时间:2017-06-15 难度:1 相似度:1.5

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172313. （2022•师大附中•高二下期中）已知函数f（x）＝x²﹣2x+alnx（a∈R）．
（1）当a＝﹣4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2022-05-16 难度:1 相似度:1.5

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237614. （2020•西安中学•高二下期中）设函数f（x）＝（x²+3x+1）e^x．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）求函数f（x）的极值．

共享时间:2020-05-11 难度:1 相似度:1.5

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170299. （2022•西安中学•高二上期末）设函数

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:1.5

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168644. （2021•西安中学•二模）已知函数f（x）＝e^x﹣ax+sinx﹣1．
（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当1≤a＜2时，证明：函数f（x）有2个零点．

共享时间:2021-03-26 难度:1 相似度:1.5

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2024-02-12

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