设复数对应复平面内的点设则任何一个复数都可以表示成的形式这种形式叫做复数三角形式其中是复数的模称为复数的辐角若则称为复数的辐角主值记为若证明并写出的三角形式无需证明求方程虚根的实部证明时

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166371. （2024•长安区一中•高三上四月）设复数z＝a+bi（a，b∈R）对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．
（1）若z＝r（cosθ+isinθ），证明：z³＝r³（cos3θ+isin3θ），并写出zⁿ的三角形式（无需证明）；
（2）求方程x⁵＝1虚根的实部；
（3）证明：n∈N^*时，

．
参考数据：

．

共享时间:2024-02-12 难度:1

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组卷

[考点]

复数的三角表示，

[答案]

（1）证明过程见解答；zⁿ的三角形式为zⁿ＝rⁿ（cosnθ+isinnθ）．
（2）x⁵＝1虚根有四个，其实部分别为﹣cos

，cos

，﹣cos

，cos

．
（3）证明过程见解答．

[解析]

解：（1）证明：若z＝r（cosθ+isinθ），则：
z²＝r²（cos2θ+isin2θ）²
＝r²（cos²θ+i²sin²θ+isin2θ）
＝r²（cos²θ﹣sin²θ+2isinθcosθ）
＝r²（cos2θ+isin2θ），
z³＝r²（cos2θ+isin2θ）•r（cosθ+isinθ）
＝r³（cos2θcosθ+i²sin2θsinθ+icos2θsinθ+isin2θcosθ）
＝r³[cos2θcosθ﹣sin2θsinθ+i（cos2θsinθ+sin2θcosθ）
＝r³[cos（2θ+θ）isin（2θ+θ\＝r³（cos3θ+isin3θ），
∴z³＝r³（cos3θ+isin3θ），
zⁿ的三角形式为zⁿ＝rⁿ（cosnθ+isinnθ）．
（2）设x＝r（cosθ+isinθ），r∈R，r≠0，θ∈[0，2π]，
则x⁵＝r⁵（cos5θ+isin5θ）＝r⁵cos5θ+ir⁵sin5θ＝1，
∴r⁵cos5θ＝1，r⁵sin5θ+ir⁵sin5θ＝1，
∴r⁵cos5θ＝1，r⁵sin5θ＝0，∴sin5θ＝0，
∴r⁵cos5θ＝1，r⁵sin5θ＝0，∴sin5θ＝0，
∴