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166364. (2024•长安区一中•高三上四月) 在平面直角坐标系xOy中,已知P,0),AB是圆Cx2+(y2=36上的两个动点,满足PAPB,则△PAB面积的最大值是       
共享时间:2024-02-12 难度:2
[考点]
利用导数研究函数的最值,直线与圆的位置关系,
[答案]
见试题解答内容
[解析]
解:圆Cx2+(y2=36的圆心C(0,),半径为6,
如图,作PC所在直径EF,交AB于点D
因为PAPBCACBR=6,所以PCABEF为垂径,
要使面积SPAB最大,则PD位于C的两侧,
并设CDx,可得PC=1,
PD=1+xAB=2BD=2
SPAB|AB|•|PD|=(1+x,0<x<6,
方法一、可令x=6cosθ,
SPAB=(1+6cosθ)•6sinθ=6sinθ+18sin2θ,0<θ≤
设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ,0<θ≤
f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ﹣6),
f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ﹣6)=0,解得cosθ=(cosθ=﹣<0舍去),
显然,当0≤cosθ<f′(θ)<0,f(θ)递减;当<cosθ<1时,f′(θ)>0,f(θ)递增,
结合cosθ在(0,)递减,故cosθ=时,f(θ)最大,此时sinθ=
f(θ)max=6×+36××=10
则△PAB面积的最大值为10
方法二、SPAB|AB|•|PD|=(1+x,0<x<6,
u=(x+1)2(36﹣x2),0<x<6,可得u′=﹣2(x+1)(2x+9)(x﹣4),
当4<x<6时,u′<0,函数u递减;当0<x<4时,u′>0,函数u递增,
所以函数ux=4处取得最大值500,
即有△PAB面积的最大值为10
故答案为:10

[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的最值,直线与圆的位置关系,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
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166327. (2024•西安中学•高二上二月) 若直线y=2x+b与曲线恰有一个公共点,则b的取值范围为        
共享时间:2024-12-23 难度:1 相似度:1.5
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236471. (2016•西安中学•高一上期末) 过点(0,1)的直线l被圆(x﹣1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l的方程为     
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共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.5
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共享时间:2021-05-16 难度:1 相似度:1.5

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2024-02-12

高中数学 | 高三上 | 填空题

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2020*西工大*期末
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