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德优网2023陕西省西安市碑林区铁一中学高中数学段考月考高一下

2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（下）第二次月考数学试卷

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共32分)

1. （本题4分） i为虚数单位，若复数z满足z（1+i）＝1﹣i，则|z|＝（　　）

A.0

B.1

C.．

D.．2

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2. （本题4分）设

（sin56°﹣cos56°），b＝cos50°cos128°+cos40°cos38°，c＝2cos²40°﹣1，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.a＞b＞c

B.．b＞a＞c

C.．c＞a＞b

D.．a＞c＞b

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3. （本题4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²﹣b²＝2bc，sinC＝3sinB，则A＝（　　）

D.．

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4. （本题4分）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（　　）
①a的值为0.005；
②估计成绩低于60分的有35；
③估计这组数据的众数为75；
④估计这组数据的第85百分位数为86．

A.．②③

B.．①③④

C.①②④

D.．①②③

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5. （本题4分）一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝3+5．在不超过20的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于20的概率是（　　）

B.．

D.．

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6. （本题4分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为矩形，∠DPA＝

，AD＝2

，AB＝2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为（　　）

B.．

C.．

D.．16π

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7. （本题4分）设定义在R上的函数f（x）满足：当x₁＜x₂时，总有

，且f（1）＝2，则不等式f（x）＞2^x的解集为（　　）

A.（﹣∞，1）	B.（1，+∞）
C.（﹣1，1）	D.（﹣∞，1）∪（1，+∞）

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8. （本题4分）已知圆O的半径为1，A，B，C，D为圆O上四点，且

，则

的最大值为（　　）

A.3

C.6

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二、多选题(4小题共16分)

9. （本题4分）已知直线a，b，平面α，β，则下列说法错误的是（　　）

A.a∥b，b⊂α则a∥α

B.a∥α，b∥α，则a∥b

C.．a，b异面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β

D.．a∥α，a∥β，则α∥β

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10. （本题4分）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（　　）

A.事件A发生的概率为

B.事件A∪B发生的概率为

C.．事件A，B是互斥事件

D.．事件A，B相互独立

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11. （本题4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝4且sinA：sinB：sinC＝

，下列说法正确的是（　　）

A.△ABC为钝角三角形

B.．AB边的中线长为3

C.△ABC周长为

D.．△ABC的外接圆面积为

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12. （本题4分）在正三棱锥P﹣ABC中，

，D，E分别是棱AC，PB的中点，M是棱PC上的任意一点，则下列结论正确的是（　　）

A.．PB⊥AC

B.．异面直线DE和AB所成角的余弦值是

C.．AM+MB的最小值是4

D.．三棱锥P﹣ABC内切球的半径是

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三、填空题(4小题共16分)

13. （本题4分）已知函数f（x）是函数y＝a^x（a＞0且a≠1）的反函数，且f（x）的图像过点（6，2），则a＝　．

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14. （本题4分）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝

，x＝

为f（x）的零点，则ω的最小值为　　．

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15. （本题4分）已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2^|x+2|+a若对任意x₁∈[3，4]，存在x₂∈[﹣3，1]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围是　　．

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16. （本题4分）直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是边长为3

的正方形，AA₁＝3，点M为CC₁的中点，点O为A₁M的中点，则点O到底面ABCD的距离为　

　；若P为底面ABCD内的动点，且A₁P⊥PM，则动点P的轨迹长度为　　．

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四、解答题(6小题共56分)

17. （本题8分）设复数z＝（m²﹣4m﹣5）+（m²+5m+4）i，m为实数．
（1）当m为何值时，z是纯虚数；
（2）若m＝﹣2，求|z|的值；
（3）若复数

在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围．

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18. （本题8分）我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）求出a，b，x，y的值；
（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的众数、中位数和平均数．
频率分布表

组别	分组	频数	频率
第1组	[50，60）	8	0.16
第2组	[60，70）	a	▓
第3组	[70，80）	20	0.40
第4组	[80，90）	▓	0.08
第5组	[90，100]	2	b
	合计	▓	▓

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19. （本题8分）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AD＝AA₁＝1．
（Ⅰ）求证：B₁C⊥BD₁
（Ⅱ）求直线AB₁与平面ABC₁D₁所成角的正弦值．

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20. （本题10分）已知条件：①2a＝b+2ccosB；②

；③

．
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____．
（1）求角C的大小；
（2）若

，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值．

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21. （本题10分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA⊥CB，∠AOC＝

，点O在棱AB上且是ABC的外心（三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点G是△AOC的内心（三角形的内心是三角形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），PA＝AB＝2．
（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣OG﹣B的正弦值．

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22. （本题12分）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：

第一轮	甲VS乙	丙VS丁
第二轮	甲VS丙	乙VS丁
第三轮	甲VS丁	乙VS丙

规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名．总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线．假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为

，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为

，

．每场比赛结果相互独立．
（1）求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；
（2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率．

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dygzsxyn

2023-06-22

高中数学 | 段考 | 难度:3.27

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