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2022-2023学年陕西省西安市长安一中高二（上）期中数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(14小题共70分)

1. （本题5分）命题“∀x∈R，x²＞1”的否定是（　　）

A.．∃x∈R，x²≤1

B.．∃x∈R，x²＜1

C.．∀x∈R，x²＜1

D.∀x∈R，x²≤1

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2. （本题5分）已知集合A＝{x|x²﹣6x﹣16＜0}，B＝{y|y﹣2≥0}，则A∩B＝（　　）

A.∅

B.[2，8）

C.（﹣∞，2]

D.（﹣2，2]

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3. （本题5分）已知平面α的法向量为

＝（2，﹣2，4），

＝（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（　　）

A.AB⊥α	B.．AB⊂α
C.AB与α相交不垂直	D.AB∥α

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4. （本题5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若a＝2，cosA＝

，sinB＝3sinC，则c＝（　　）

A.．

C.．

D.．

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5. （本题5分）在正项等比数列{a_n}中，a₃a₇＝3，则数列{log₃a_n}的前9项和为（　　）

B.．

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6. （本题5分）已知直线x+ay﹣1＝0是圆C：x²+y²﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣3，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于（　　）

A.2

B.．5

C.4

D.．

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7. （本题5分）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，

，则该双曲线的离心率为（　　）

D.．

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8. （本题5分）数列{a_n}是等比数列，首项为a₁，公比为q，则“a₁（q﹣1）＜0”是“数列{a_n}递减”的（　　）

A.充分不必要条件	B.必要不充分条件
C.充分必要条件	D.既不充分也不必要条件

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9. （本题5分）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（　　）

A.10

B.．12

C.5

D.．5

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10. （本题5分）已知实数a＞1，命题p：函数

的定义域为R，命题q：|x|＜1是x＜a的充分不必要条件，则（　　）

A.．p或q为真命题	B.p且q为假命题
C.．￢p且q为真命题	D.￢p或￢q为真命题

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11. （本题5分）已知椭圆

的左、右焦点分别是F₁，F₂，焦距

，过点

的直线与椭圆交于P、Q两点，若

，且PF₁⊥PF₂，则椭圆C的方程为（　　）

B.．

D.．

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12. （本题5分）在数列{a_n}中，a₁＝1，n（n+1）（a_n₊₁﹣a_n）＝1（n∈N*），则a₂₀₂₂＝（　　）

C.．

D.．

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13. （本题5分） M是抛物线y²＝2x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，则|FM|＝（　　）

A.1

B.．2

C.．

D.．4

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14. （本题5分）我们通常称离心率是

的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0），A₁，A₂，B₁，B₂分别为左、右、上、下顶点，F₁，F₂分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（　　）

A.|A₁F₁|•|A₂F₂|＝|F₁F₂|²

B.．∠F₁B₁A₂＝90°

C.．PF₁⊥x轴，且PO∥A₂B₁

D.．四边形A₁B₂A₂B₁的一个内角为60°

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二、填空题(6小题共30分)

15. （本题5分）若“∃x∈R，x²＝m”是假命题，则实数m的取值范围是　　．

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16. （本题5分）观察下面的数阵，则第16行从左边起第3个数是　　．

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17. （本题5分）已知实数x，y满足约束条件

，若目标函数z＝y﹣x的最大值是5，则实数m的值为　　．

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18. （本题5分）已知椭圆

的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，直线AF₁与椭圆C的另一个交点为B，则△ABF₂的面积为　．

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19. （本题5分）某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN．现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN＝45°，点C的仰角∠CAB＝30°，测得∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，已知另一座山高BC＝200米，则山高MN＝　米．

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20. （本题5分）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为　．

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三、解答题(4小题共50分)

21. （本题12分）已知数列{a_n}，a₁＝1，a_n₊₁＝

（n＝1，2，3，…）．
（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

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22. （本题12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＝

b．
（1）求角A的大小；
（2）若bcos C+ccosB＝

，求b+c的取值范围．

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23. （本题13分）设F为椭圆C：

的右焦点，过点（2，0）的直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
（2）设直线AF，BF的斜率分别为k₁，k₂（k₂≠0），求证：

为定值．

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24. （本题13分）已知抛物线C：y²＝4x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过定点T（t，0）（其中t＞0，t≠1）与抛物线C相交于A，B两点（点A位于第一象限）．
（1）当t＝4时，求证：OA⊥OB；
（2）如图，连接AF，BF并延长交抛物线C于两点A₁，B₁，设△ABF和△A₁B₁F的面积分别为S₁和S₂，则

是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．

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dygzsxyn

2022-11-29

高中数学 | 考试 | 难度:1.67

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