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2023-2024学年陕西省西安市高新一中高一（下）期中数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜1}，N＝{x|x²+x﹣6＜0}，则M∩N＝（　　）

A.{x|﹣2＜x＜3}

B.．{x|﹣2＜x＜1}

C.{x|﹣3＜x＜1}

D.{x|﹣4＜x＜2}

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2. （本题5分）在复平面内，复数

对应的点在（　　）

A.第一象限

B.．第二象限

C.第三象限

D.．第四象限

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3. （本题5分）已知非零向量

，

满足|

|＝2|

|，且（

﹣

）⊥

，则

与

的夹角为（　　）

C.．

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4. （本题5分）设函数f（x）＝

，则f（﹣2）+f（log₂12）＝（　　）

A.．3	B.．6
C.．9	D.．15

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5. （本题5分）已知

，则

的值是（　　）

B.．

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6. （本题5分）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则其棱切球的表面积是（　　）

A.．π

B.2π

C.．8π

D.．12π

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7. （本题5分）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若

，且

，则

＝（　　）

A.．（4，﹣2）

B.．（﹣4，2）

C.（6，﹣3）

D.（﹣6，3）

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8. （本题5分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos2B＝2bcosAcosB，设甲：A＝B；乙：

的取值范围为

，以下说法正确的是（　　）

A.．甲为真命题，乙为真命题

B.甲为真命题，乙为假命题

C.甲为假命题，乙为假命题

D.甲为假命题，乙为真命题

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9. （本题5分）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的函数是（　　）

A.．y＝8^x+8^﹣x

C.．

D.y＝tanx

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10. （本题5分）已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（　　）

A.21π

B.24π

C.36π

D.．

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11. （本题5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（　　）

A.若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形

B.若asinA+bsinB＞csinC，则△ABC为锐角三角形

C.若，则△ABC一定是等边三角形

D.若bcosC+ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形

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12. （本题5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且

＝

，

＝2

，BD与CE交于点O，则（　　）

A.＝

B.•＝0

C.|+++|＝

D.在方向上的投影向量为

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）已知点O（0，0），向量

，点P满足

，则点P的坐标为　　．

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14. （本题5分）一个长方体容器ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中盛有水，侧面ABCD为正方形，且A₁A＝16．如图，当面ABB₁A₁水平放置时，水面的高度恰好为

，那么将面ABCD水平放置时，水面的高度等于　．

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15. （本题5分）在△ABC中，点D在边BC上，已知∠ABC＝∠CAD＝30°，AD＝2，△ACD的面积为

，则AB＝　．

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16. （本题5分）函数f（x）＝2sin（ωx+

）（ω＞0）在区间（

，

）上有且只有两个零点，则ω的取值范围是　．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）已知复数z与（z+2）²﹣8i都是纯虚数．
（Ⅰ）求|z|；
（Ⅱ）若复数z﹣3是关于x的方程x²+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．

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18. （本题12分）已知k∈R，向量

，

．
（1）若向量

与

平行，求k的值；
（2）若向量

与

的夹角为锐角，求k的取值范围．

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19. （本题12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a²＝3b²+c²，且sinC＝2sinB．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c＝6，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，求AD的长度．

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20. （本题12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的图像如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）首先将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得函数的图象向右平移

个单位长度，最后再将所得函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在

内的值域．

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21. （本题12分）某市政府计划在一处河道湿地修建一个公园．湿地公园呈五边形形状，如图所示，其中∠B＝∠C＝75°，BC长为600米，在BC上选择一点Q作为公园入口，从公园入口出发修建两条绿道QE，QF，其中绿道终点E，F两点分别在边界AB，DC上，且∠BQE＝∠CQF＝60°．
（Ⅰ）绿道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）为了方便游客，打算在湿地公园原有规划基础上增添一条商业步道EF，若建设绿道平均每米需花费200元，建设商业步道平均每米需花费400元，试求建设绿道与商业步道总花费的最小值．

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22. （本题12分）已知函数f（x）＝x²﹣x|x﹣a|﹣4a，a＞0．
（1）若a＝2，求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在x∈[0，3]上的最值；
（3）当a∈（0，4）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x₁，x₂，求

的取值范围．

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dygzsxyn

2024-05-26

高中数学 | 考试 | 难度:1.91

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