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2023-2024学年陕西师大附中高二（上）期中数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）若直线过点（1，3），

，则此直线的倾斜角θ是（　　）

A.90°

B.．60°

C.．45°

D.30°

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2. （本题5分）在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若

＝

，

＝

，

＝

，则

＝（　　）

A.．

﹣

B.．

﹣

C.．

D.．﹣

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3. （本题5分）已知圆C：x²+y²﹣2x﹣6y+9＝0，过x轴上的点P（1，0）向圆C引切线，则切线长为（　　）

A.3

B.．2

C.．2

D.．3

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4. （本题5分）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁＝1，则S₄＝（　　）

A.15

B.．7

C.．8

D.．16

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5. （本题5分）与圆x²+y²＝1及圆x²+y²﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　）

A.一个椭圆上	B.双曲线的一支上
C.．一条抛物线上	D.一个圆上

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6. （本题5分）已知椭圆

的右焦点为F，离心率为

，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为（1，1），则直线l的斜率为（　　）

B.．

C.．

D.1

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7. （本题5分）过抛物线y²＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（　　）

A.．2

B.．3

C.4

D.．5

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8. （本题5分）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e²＝（　　）

B.7﹣2

C.3﹣2

D.．3

﹣5

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9. （本题5分）过点A（1，﹣1）与B（﹣1，1）且半径为2的圆的方程可以为（　　）

A.（x﹣3）²+（y+1）²＝4	B.（x﹣1）²+（y﹣1）²＝4
C.．（x+1）²+（y+1）²＝4	D.（x+3）²+（y﹣1）²＝4

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10. （本题5分）给出下列命题，其中正确的有（　　）

A.空间任意三个向量都可以作为一组基底

B.已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底

C.已知空间向量，，则

D.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是

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11. （本题5分）已知双曲线C：

的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）

A.点F到C的一条渐近线的距离为2

B.双曲线C的离心率为

C.．则P到C的两条渐近线的距离之积大于4

D.当|PA|+|PF|最小时，则△PAF的周长为

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12. （本题5分）已知数列{a_n}的首项为a₁＝1，且满足

，则以下说法正确的是（　　）

A.数列{a_n}的最大项为2

B.数列{a_n}没有最小项

C.．数列{a_2n}是递减数列

D.∀m，k∈N^*，都有a_2m﹣1＜a_2k

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）在﹣3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为　．

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14. （本题5分）已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），O为坐标原点，那么2|OA|+|OB|的最小值为　　．

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15. （本题5分）直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m＝0被圆x²+y²＝16截得弦长的最小值为　．

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16. （本题5分）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y²＝2px（p＞0），如图，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为　．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
（2）若向量

分别与

垂直，且

，求向量

的坐标．

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18. （本题12分）设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

．
（1）求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n＝a_2n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n≥780时，n的最小值．

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19. （本题12分）在△ABC中，A＝2B，sinB＝

，AB＝23．
（1）求sinA，sinC；
（2）求

•

的值．

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20. （本题12分）如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA₁，E，F分别是CC₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅱ）求锐二面角B₁﹣AE﹣F的余弦值．

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21. （本题12分）已知F₁、F₂分别是椭圆C：

+y²＝1的左、右焦点．
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，

•

＝﹣

，求点P的坐标；
（2）若直线l与圆O：x²+y²＝

相切，交椭圆C于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得OA⊥OB？

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22. （本题12分）如图，已知抛物线x²＝y．点

，

，抛物线上的点P（x，y）（0≤x≤1），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（1）求直线AP斜率的取值范围；
（2）求

的最大值．

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dygzsxyn

2024-11-26

高中数学 | 考试 | 难度:1.36

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