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2023-2024学年陕西师大附中高一（下）期中数学试卷

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共48分)

1. （本题4分）设复数z满足

＝i，则|z|＝（　　）

A.1

C.．3

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2. （本题4分）已知向量

＝（λ，1），

＝（λ+2，1），若|

|＝|

﹣

|，则实数λ的值为（　　）

A.．1

B.．2

C.．﹣1

D.．﹣2

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3. （本题4分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝

，点D为边BC上靠近B的三等分点，则

的值为（　　）

A.﹣

B.．﹣

C.．

D.．

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4. （本题4分）已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（　　）

A.若l∥m，l∥β，则m∥β

B.．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l

C.．若m⊥α，l⊥m，则l∥α

D.若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l

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5. （本题4分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别为AC，A₁B的中点，下列说法中不正确的是（　　）

A.．MN∥平面ADD₁A₁	B.MN⊥AB
C.．MN与CC₁所成角为45°	D.．MN⊥平面ACD₁

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6. （本题4分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足

，则△ABC的形状是（　　）

A.等腰三角形	B.．直角三角形
C.．等边三角形	D.等腰直角三角形

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7. （本题4分）我国油纸伞的制作工艺非常巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈D沿着伞柄向下滑动的距离为25cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是（　　）

C.．

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8. （本题4分）在△ABC中，

，BC＝2，∠B＝150°，点D是AC边上的一点（包括端点），点M是AC的中点，则

的取值范围是（　　）

A.．

B.．

C.．

D.．[0，1]

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9. （本题4分）若向量

，

为互相垂直的单位向量，

，且

与

的夹角为锐角，则实数m可取的值有（　　）

A.．﹣4

B.．﹣2

C.．0

D.．

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10. （本题4分）已知点O是△ABC所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（　　）

A.若，则O为△ABC的重心

B.．若，则O为△ABC的内心

C.若O为△ABC的重心，AD是BC边上的中线，则

D.若，则

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11. （本题4分）在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M在线段B₁C上运动，则（　　）

A.直线BD₁⊥平面A₁B₁CD

B.三棱锥M﹣A₁C₁D的体积为定值

C.．异面直线AM与A₁D所成角的取值范围是[，]

D.．直线C₁M与平面A₁DC₁所成角的正弦值的最大值为

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12. （本题4分）直角△ABC中，斜边AB＝2，P为△ABC所在平面内一点，

（其中θ∈R），则（　　）

A.．的取值范围是（0，4）

B.．点P经过△ABC的外心

C.．点P所在轨迹的长度为2

D.．的取值范围是

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二、填空题(4小题共16分)

13. （本题4分）如图，海岸线上有相距5nmile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3

nmile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5nmile的C处．则两艘轮船之间的距离为　 nmile．

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14. （本题4分）在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA＝PB＝3，AC＝2

，BC＝

，则该四面体外接球的表面积为　　．

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15. （本题4分）如图，已知圆锥轴截面PAB为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，成C在圆O上，且BC＝

，E为线段PB上异于P，B的点，则CE+OE的最小值为　．

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16. （本题4分）已知在平行四边形ABCD中，

，AB＝1，AD＝

，P为平行四边形ABCD所在平面内一点，且AP＝

，若

＝

（λ，μ∈R），则

的最大值为　　．

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三、解答题(5小题共56分)

17. （本题10分）已知复数z满足：|z|+iz＝1+3i．
（1）求复数z；
（2）化简：

．

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18. （本题10分）已知|

|＝2，|

|＝1，（

﹣3

）•（

）＝3．
（1）求|

|的值；
（2）求

与

﹣2

的夹角．

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19. （本题12分）在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，且满足

．
（1）求cosA；
（2）若a＝3，求b+c的最大值．

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20. （本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，

，∠ABC＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．

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21. （本题12分）如图，某城市有一条从正西方（MO）通过市中心O后转向东偏北60°方向（ON）的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在OM，ON上分别设置两个出口A，B，B在A的东偏北θ的方向（A，B两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于A，B之间相距较远，计划在A，B之间设置一个服务区P．
（1）若P在O的正北方向且OP＝2km，求A，B到市中心O的距离和最小时tanθ的值；
（2）若B在市中心O的距离为10km，此时P在∠AOB的平分线与AB的交点位置，且满足

，求A到市中心O的最大距离．

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dygzsxyn

2024-05-18

高中数学 | 考试 | 难度:1.76

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