在正方体中点在线段上运动则直线平面三棱锥的体积为定值异面直线与所成角的取值范围是直线与平面所成角的正弦值的最大值为

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171212. （2024•师大附中•高一下期中）在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M在线段B₁C上运动，则（　　）

A.直线BD₁⊥平面A₁B₁CD

B.三棱锥M﹣A₁C₁D的体积为定值

C.．异面直线AM与A₁D所成角的取值范围是[

，

]

D.．直线C₁M与平面A₁DC₁所成角的正弦值的最大值为

共享时间:2024-05-18 难度:3

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，

[答案]

BD

[解析]

解：A．在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，CD∥C₁D₁，若直线BD₁⊥平面A₁B₁CD，则BD₁⊥CD，即BD₁⊥C₁D₁，但在△BC₁D₁，中，显然不成立，即直线BD₁⊥平面A₁B₁CD错误，故A错误，

B．三棱锥M﹣A₁C₁D的体积V＝

，
∵A₁D∥B₁C，∴△A₁DM的面积是定值，点C₁到平面A₁B₁CD的距离也是定值，则V＝

是定值，即三棱锥M﹣A₁C₁D的体积是定值，故B正确，

C．在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，因为A₁D∥BC₁，所以直线AM与A₁D所成角等于直线AM与B₁C所成的角．
∵△ACB₁为等边三角形，P在B₁C上，当M是B₁C的中点时，此时AM⊥B₁C，此时夹角最大为

，
当M位于C或B₁时，直线所成角的角最小为

，即异面直线AM与A₁D所成角的取值范围是[

，

]，故C错误．

D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则

＝（1，1，﹣1）是平面A₁C₁D的一个法向量，
设

＝λ

＝（﹣λ，0，﹣λ），
得M（1﹣λ，1，1﹣λ），0≤λ≤1，
则

＝（1﹣λ，0，﹣λ），
∴直线C₁M与平面A₁C₁D所成角的正弦值sinθ＝|cos＜

，

＞|＝

＝

＝

＝

，
∵0≤λ≤1，∴当λ＝

时，sinθ取得最大值sinθ＝

＝

，故D正确．
故选：BD．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166423. （2024•西光中学•高二上一月）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体的上底面A₁B₁C₁D₁内（不含边界）的动点，点Q是棱BC的中点，则以下命题正确的是（　　）

A.三棱锥Q﹣PCD的体积是定值

B.存在点P，使得PQ与AA₁所成的角为60°

C.直线PQ与平面A₁ADD₁所成角的正弦值的取值范围为

D.若PD₁＝PQ，则P的轨迹的长度为

共享时间:2024-10-12 难度:4 相似度:1.75

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171488. （2023•铁一中学•高二上期中）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF＝

，则下列结论中错误的是（　　）

A.AC⊥BE

B.EF∥平面ABCD

C.直线AB与平面BEF所成的角为定值

D.异面直线AE，BF所成的角为定值

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:1.67

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172325. （2021•西安中学•高二上期中）如图，已知点P是正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线B′D′的中点，则异面直线DP与AB所成角的余弦值为（　　）

A.．0

B.

C.．

D.．

共享时间:2021-11-26 难度:1 相似度:1.33

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169684. （2024•西安八十五中•高一下期末）已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的所有棱长都相等，M为A₁C₁的中点，则AM与BC₁所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.．

D.

共享时间:2024-07-08 难度:1 相似度:1.33

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168445. （2021•西安中学•七模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

A.．

B.．

C.．

D.．1

共享时间:2021-06-02 难度:5 相似度:1.33

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168609. （2021•西安中学•二模）在梯形ABCD中，∠ABC＝

，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A.

B.．

C.

D.．2π

共享时间:2021-03-17 难度:1 相似度:1.33

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168677. （2021•西安中学•仿真）冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为

cm²的半圆形，则该冰激凌的体积为（　　）

A.

B.

C.

D.

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168770. （2021•西安中学•八模）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，BC的中点为D，A₁D⊥底面ABC，则异面直线AB与CC₁所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

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168908. （2021•高陵一中•二模）在梯形ABCD中，∠ABC＝

，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A.．

B.

C.．

D.2π

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169040. （2020•西工大附中•一模）已知圆柱的轴截面周长为12，体积为V，则下列总成立的是（　　）

A.．V≥8π

B.．V≤8π

C.．V≥π

D.V≤π

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169321. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，CA＝CC₁＝2CB＝2，则直线BC₁与直线AB₁夹角的正弦值为（　　）

A.

B.

C.．

D.．

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169557. （2024•师大附中•高二下期末）．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（　　）

A.8：5

B.．4：5

C.．2

：5

D.4：11

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170542. （2021•西安中学•高一上期末）如图，四面体ABCD中，CD＝4，AB＝2，E，F分别是AC，BD的中点，若EF⊥AB，则EF与CD所成的角的大小是（　　）

A.

B.．

C.．

D.．

共享时间:2021-02-10 难度:1 相似度:1.33

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170113. （2023•铁一中学•高三上期末）如图所示，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的面A₁C₁，B₁C，CD₁的中心分别为O₁，O₂，O₃，则直线AO₁与直线O₂O₃所成的角为（　　）

A.．90°

B.60°

C.45°

D.．30°

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168004. （2023•师大附中•十模）表面积为15π的球内有一内接四面体PABC，其中平面ABC⊥平面PAB，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（　　）

A.．

B.

C.．

D.．

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更新:2024-05-18 09:23浏览量:9