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德优网2021陕西省西安市未央区西安中学高中数学模考模拟

2021年陕西省西安中学高考数学六模试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设集合A＝{x|lgx＜1}，B＝{x|x＞3}，则A∪B＝（　　）

A.（0，+∞）

B.（3，10）

C.（﹣∞，+∞）

D.．（3，+∞）

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2. （本题5分）已知i为虚数单位，且复数a²﹣1+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　）

A.．1或﹣1

B.．1

C.．﹣1

D.．0

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3. （本题5分）已知向量

＝（2，3），

＝（x，2），则“

与

的夹角为锐角”是“x＞﹣3”的（　　）

A.充分不必要条件	B.．必要不充分条件
C.．充要条件	D.既不充分也不必要条件

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4. （本题5分）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（　　）

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5. （本题5分）已知二项式（2x﹣1）ⁿ的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x³项的系数为（　　）

A.﹣80

B.．80

C.﹣160

D.．﹣120

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6. （本题5分）已知数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ﹣1，则数列{log₂a_n}的前10项和等于（　　）

A.1023

B.55

C.．45

D.．35

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7. （本题5分）已知a＝2

，b＝

log₃7，c＝

，则a，b，c的大小关系（　　）

A.a＞c＞b

B.．b＞a＞c

C.．c＞a＞b

D.．c＞b＞a

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8. （本题5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：x²+y²﹣2x+4y﹣4＝0，圆C₂：x²+y²+2x﹣2y﹣2＝0，则两圆的公切线的条数是（　　）

A.1条

B.2条

C.3条

D.．4条

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9. （本题5分）清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（　　）

A.．

C.．

D.．

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10. （本题5分）数列{a_n}中，a₁＝5，a₂＝9．若数列{a_n+n²}是等差数列，则{a_n}的最大项为（　　）

A.9

B.．11

D.．12

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11. （本题5分）已知曲线C上任意一点P（x，y）满足

，则曲线C上到直线2x﹣y﹣4＝0的距离最近的点的坐标是（　　）

B.．

C.．

D.．

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12. （本题5分）函数f（x）＝x+

，g（x）＝x^a﹣alnx（a＜0），当x∈（1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的最小值为（　　）

A.．

B.．

D.﹣e

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）在△ABC中，已知AB＝AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且

，则BC边的长度为　　．

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14. （本题5分）已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

），y＝f（x）的部分图象如图，则f（

）＝　．

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15. （本题5分）已知随机变量ξ的分布列如表，D（ξ）表示ξ的方差，则D（2ξ+1）＝　　．

ξ	0	1	2
p	a	1﹣2a

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16. （本题5分）已知四面体ABCD的所有棱长均为

，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．则下列结论中正确的结论的序号为　　．
①线段MN的长度为1；
②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；
③∠MFN的余弦值的取值范围是

；
④△FMN周长的最小值为

．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为

，A＝

．
（1）若2sinC＝3sinB，求a；
（2）若D为BC边的中点，求线段AD长的最小值．

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18. （本题12分）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC＝BC＝

AA₁＝2，M、N分别为AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）若B₁M＝3

，求二面角B₁﹣A₁M﹣N的余弦值．

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19. （本题12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）写出该抛物线的标准方程；
（2）当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．

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20. （本题12分）某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；
方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．
某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：

维修次数	0	1	2	3
机器台数	20	10	40	30

以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记X表示这两台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．

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21. （本题12分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣1）．
（1）设曲线y＝f（x）在x＝

处的切线方程为y＝g（x），求证：f（x）≥g（x）；
（2）若方程f（x）＝a有两个根x₁，x₂，求证：|x₁﹣x₂|＜2a+e+

．

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22. （本题10分）直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²＝tanθ+

．
（1）曲线C与直线l：θ＝

（ρ∈R）交于A，B两点，求|AB|；
（2）曲线C₁的参数方程为

（r＞0，α为参数），当θ∈（0，

）时，若C与C₁有两个交点，极坐标分别为（ρ₁，θ₁），（ρ₂，θ₂），求r的取值范围，并证明θ₁+θ₂＝

．

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23. （本题0分）已知函数f（x）＝|x+4|+|x|．
（1）解不等式f（2x﹣1）≤6；
（2）记函数f（x）的最小值为a，且m²+n²＝

，其中m，n均为正实数，求证：

．

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dygzsxyn

2021-05-15

高中数学 | 模考 | 难度:1.78

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