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2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高三（上）第三次月考数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）定义差集M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A﹣（A∩B）＝（　　）

A.∅

B.{2}

C.{8}

D.{3，5}

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2. （本题5分）已知复数z满足

，则复数z的共轭复数的模

＝（　　）

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3. （本题5分）已知

，

，则cos（2α﹣2β）＝（　　）

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4. （本题5分）已知点M在抛物线C：y²＝4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为（　　）

A.1

B.2

C.．3

D.．4

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5. （本题5分）已知a＝sin0.5，b＝3^0.5，c＝log_0.30.5，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.．a＜b＜c

B.a＜c＜b

C.c＜a＜b

D.c＜b＜a

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6. （本题5分）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则该圆台的体积为（　　）

B.9π

C.7π

D.．

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7. （本题5分）已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，

，O为△ABC所在平面内一点，且满足

，则

的值为（　　）

A.﹣4

B.﹣1

C.．1

D.．4

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8. （本题5分）已知可导函数f（x）的定义域为R，

为奇函数，设g（x）是f（x）的导函数，若g（2x+1）为奇函数，且

，则

（　　）

A.．

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）已知向量

在向量

方向上的投影向量为

，向量

，且

与

夹角

，则向量

可以为（　　）

A.（0，2）

B.（2，0）

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10. （本题6分）已知f（x）＝

sin

+cos²

﹣

，ω＞0，下列结论正确的是（　　）

A.若f（x）的最小正周期为π，则ω＝2

B.若f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω_min＝1

C.若f（x）在[0，2π）上恰有4个极值点，则ω的取值范围为

D.存在ω，使得f（x）在上单调递减

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11. （本题6分）已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，棱AB的中点为M，过点M作正方体的截面α，且B₁D⊥α，若点N在截面α内运动（包含边界），则（　　）

A.当|MN|最大时，MN与BC所成的角为

B.三棱锥A₁﹣BNC₁的体积为定值

C.若|DN|＝2，则点N的轨迹长度为2π

D.若N∈平面A₁BCD₁，则BN+NC₁的最小值为

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分） 2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为　　．

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13. （本题5分）已知双曲线

的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，当2tanα+tanβ取最小值时，△PAB的面积为　．

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14. （本题5分）已知

，则使不等式

能成立的正整数n的最大值为　　．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝6．
（Ⅰ）若

，

，求sin∠BDC的值；
（Ⅱ）若CD＝2，cosA＝3cosC，求四边形ABCD的面积．

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16. （本题15分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁与BB₁的距离为

，AB＝AC＝A₁B＝2，A₁C＝BC＝2

．
（1）证明：平面A₁ABB₁⊥平面ABC；
（2）若点N在棱A₁C₁上，求直线AN与平面A₁B₁C所成角的正弦值的最大值．

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17. （本题15分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥2时，S_n（S_n﹣a_n+1）＝S_n_﹣1．
（1）证明：数列

是等差数列；
（2）若

，数列

的前n项和为T_n，若

恒成立，求正整数m的最大值．

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18. （本题17分）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求C的方程；
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

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19. （本题17分）定义：若函数f（x）图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线y＝f（x）在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线y＝f（x）的“双重切点”，直线PQ为曲线y＝f（x）的“双重切线”．
（1）直线y＝x﹣

是否为曲线f（x）＝

x²﹣2x+2lnx的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数g（x）＝

，求曲线y＝g（x）的“双重切线”的方程；
（3）已知函数h（x）＝cosx，直线PQ为曲线y＝h（x）的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为k₁k₂，…，k_n，若k₁＞k₂＞k_i（i＝3，4，5，…，n），证明：

．

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2024-01-29

高中数学 | 段考 | 难度:2.37

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