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德优网2021陕西省西安市未央区西安中学高中数学考试期中高二下

2020-2021学年陕西省西安中学高二（下）期中数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设i为虚数单位，则（x+i）⁶的展开式中含x⁴的项为（　　）

A.﹣15x⁴

B.15x⁴

C.﹣20ix⁴

D.20ix⁴

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2. （本题5分）如图所示，曲线y＝x²和曲线y＝

围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（　　）

A.．1

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3. （本题5分）函数y＝e^x﹣ex的单调递增区间（　　）

A.（﹣∞，0）

B.．（﹣∞，1）

C.（0，+∞）

D.（1，+∞）

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4. （本题5分）设

，则a，b，c的大小顺序是（　　）

A.．a＞b＞c

B.．c＞a＞b

C.a＞c＞b

D.b＞c＞a

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5. （本题5分）用数学归纳法证明“5ⁿ﹣2ⁿ能被3整除”的第二步中，n＝k+1时，为了使用假设，应将5^k⁺¹﹣2^k⁺¹变形为（　　）

A.．5（5^k﹣2^k）+3×2^k	B.．（5^k﹣2^k）+4×5^k﹣2^k
C.．（5﹣2）（5^k﹣2^k）	D.．2（5^k﹣2^k）﹣3×5^k

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6. （本题5分）已知数列{a_n}满足

，则a₂₀₂₁＝（　　）

A.0

B.．

C.．

D.．

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7. （本题5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）

A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）

B.．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）

C.．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）

D.．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）

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8. （本题5分）男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（　　）

A.．2人或3人

B.3人或4人

C.3人

D.．4人

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9. （本题5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（　　）

A.192种

B.．216种

C.240种

D.288种

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10. （本题5分）若复数z₁＝1+i，z₂＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虚数单位，则|z₁﹣z₂|的最大值为（　　）

A.．

B.．2

C.．

D.．3

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11. （本题5分）已知函数f（x）＝ax﹣x²﹣lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（　　）

A.．（﹣∞，4）

B.．（4，+∞）

C.（﹣∞，2）

D.．（2，+∞）

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12. （本题5分）已知函数f（x）＝ax³+bx²+cx+d（a≠0），g（x）＝f'（x），给出下列四个结论，分别是：
①a＞0；
②f（x）在R上单调；
③f（x）有唯一零点；
④存在x₀，使得g（x₀）＜0，
其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是（　　）

A.①

B.②

C.．③

D.．④

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）

展开式中x²的系数为　　．

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14. （本题5分） A，B，C，D四人猜想自己所买彩票的中奖情况．
A说：“如果我中奖了，那么B也中奖了”
B说：“如果我中奖了，那么C也中奖了”
C说：“如果我中奖了，那么D也中奖了”
结果三人都没有说错，但是只有两人中奖了，这两人是　　．

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15. （本题5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派4人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　．（作数字作答）

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16. （本题5分）已知函数f（x）＝e^x与函数g（x）＝lnx+b存在一条过原点的公共切线，则b＝　　．

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三、解答题(5小题共70分)

17. （本题14分）计算：
（1）若

，求a₀+a₁+a₂+⋯+a₆+a₇的值；
（2）求

的值；
（3）求

的值．

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18. （本题14分）已知函数f（x）＝x³+3mx²+nx+5m，在x＝﹣1处有极值0；
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

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19. （本题14分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形边界的12株作物和中间的3株作物各取一株，求它们恰好相近的概率；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量Y的分布列．

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20. （本题14分）均值不等式

可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：

．
（1）证明不等式

；
（2）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中

指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想．（n个数的平方平均数为

）

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21. （本题14分）已知函数f（x）＝e^x﹣ax﹣1（a∈R）．
（1）当a＝1时，证明f（x）≥0；
（2）讨论函数f（x）零点的个数．

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dygzsxyn

2021-05-12

高中数学 | 考试 | 难度:1.38

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