某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点指纵横直线的交叉点以及三角形的顶点处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验一株该种作物的年收获量单位与它的相近作物株数之间的关系如表所示这里两株作物相近是指它们之间的直线距离不超过米从三角形边界的株作物和中间的株作物各取一株求它们恰好相近的概率在所种作物中随机选取一株求它的年收获量的分布列

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237271. （2021•西安中学•高二下期中）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形边界的12株作物和中间的3株作物各取一株，求它们恰好相近的概率；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量Y的分布列．

共享时间:2021-05-12 难度:1

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[考点]

离散型随机变量及其分布列，

[答案]

（1）

；

（2）Y的分布列为：

[解析]

解：（1）所种作物总株数N＝1+2+3+4+5＝15，
其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，
从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有

（种），
选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2＝8（种），
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为

；
（2）因为P（Y＝51）＝P（X＝1），
P（Y＝48）＝P（X＝2），P（Y＝45）＝P（X＝3），P（Y＝42）＝P（X＝4），
所以只需求出P（X＝k）（k＝1，2，3，4）即可，
记n_k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k＝1，2，3，4），
则n₁＝2，n₂＝4，n₃＝6，n₄＝3，
由

，得

，

，
故所求Y的分布列为：

Y	51	48	45	42
P

[点评]

本题考查了"离散型随机变量及其分布列，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

236553. （2017•高新一中•高二下期末） PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级．在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级．在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
（2）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．

共享时间:2017-07-18 难度:1 相似度:2

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172421. （2022•西安中学•高二下期中）为了了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表：

时间人数学生类别		[0，5）	[5，10）	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）
性别	男	6	9	10	10	9	4
性别	女	5	12	13	8	6	8
学段	初中	x	8	11	11	10	7
学段	高中

（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率；
（2）设参加公益劳动时间在[25，30）的学生中抽取3人进行面谈．记X为抽到高中的人数，求随机变量X的概率分布．

共享时间:2022-05-17 难度:1 相似度:2

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230818. （2022•临潼区•二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

，乙每次击中目标的概率为

．假设两人射击是否击中目标，互不影响；每次射击是否击中目标，互不影响．
（1）记甲击中目标的次数为X，求X的分布列；
（2）在①甲恰好比乙多击中目标2次，②乙击中目标的次数不超过2次，③甲击中目标3次且乙击中目标2次这三个条件中任取一个，补充在横线中，并解答问题．求_______事件的概率．

共享时间:2022-03-18 难度:2 相似度:1.5

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236197. （2018•西安中学•高二下期末）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：
（Ⅰ）该顾客中奖的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．

共享时间:2018-07-08 难度:2 相似度:1.5

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232464. （2023•南开中学•高二上二月）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．
规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．

题目	A	B	C
做对的概率
获得的奖金/元	32	64	128

[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和．]
（Ⅰ）求甲没有获得奖金的概率；
（Ⅱ）求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；
（Ⅲ）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？
如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）

共享时间:2023-12-28 难度:2 相似度:1.5

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231812. （2025•雁塔二中•高二下一月） 2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付准备从国内n（n∈N^*）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为

．
（1）求n的值；
（2）若一次抽取4个城市，则：
①假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；
②取出4个城市是同一类城市求全为超大城市的概率．

共享时间:2025-04-27 难度:2 相似度:1.5

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231491. （2016•西工大附中•八模）随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求1件产品的平均利润；
（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？

共享时间:2016-06-11 难度:2 相似度:1.5

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231146. （2016•西工大附中•四模）有一个小型慰问演出队，其中有2人会唱歌，有5人会跳舞，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ＞0）＝

．
（I）求该演出队的总人数；
（Ⅱ）求ξ的分布列并计算Eξ．

共享时间:2016-04-17 难度:2 相似度:1.5

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230572. （2025•西工大附中•八模）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
（1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望；
（2）若投掷n次骰子，记合计得分恰为n+1分的概率为P_n，求

；
（3）设最终得分为n分的概率为P_n，求数列{P_n}的通项公式．

共享时间:2025-06-12 难度:2 相似度:1.5

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166643. （2024•高新一中•高三上五月）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p₁、p₂、p₃，假定p₁、p₂、p₃互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
（1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若

，

，求该小组比赛胜利的概率；
（2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求X的期望E[X]；
（3）已知1＞p₁＞p₂＞p₃，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．

共享时间:2024-12-26 难度:2 相似度:1.5

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169147. （2020•西工大附中•二模）甲、乙两公司在A、B两地同时生产某种大型产品（这两个公司每天都只能固定生产10件产品），在产品发货给客户使用之前需要对产品进行质量检测，检测结果按等级分为特等品，一等品，二等品，报废品．只有特等品和一等品是合格品，且可以直接投入使用，二等品需要加以特别修改才可以投入使用，报废品直接报废，检测员统计了甲、乙两家公司某月30天的生产情况及每件产品盈利亏损情况如表所示：

	检测结果	特等品	一等品	二等品	报废品
甲公司	产品件数	210	54	20	16
乙公司	产品件数	240	18	28	14

	每件特等品	每件一等品	每件二等品	报废品
甲公司	盈2万元	盈1万元	亏1万元	亏2万元
乙公司	盈1.5万元	盈0.8万元	亏1万元	亏1.2万元

（1）分别求甲、乙两个公司这30天生产的产品的合格率（用百分数表示）．
（2）试问甲、乙两个公司这30天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由．
（3）若从乙公司这30天生产的不合格产品中随机抽取2件产品，记抽取二等品的件数为X，求X的分布列及期望．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:1.5

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169145. （2020•西工大附中•二模）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC＝120°，

，

，E、F分别是BC、A₁C₁的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB₁．
（2）求直线B₁E与平面A₁BE所成角的正弦值．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:1.5

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168551. （2021•西安中学•六模）某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；
方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．
某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：

维修次数	0	1	2	3
机器台数	20	10	40	30

以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记X表示这两台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．

共享时间:2021-05-15 难度:2 相似度:1.5

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168412. （2021•西安中学•十模）永春老醋以其色泽鲜艳、浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋．为提高效率、改进品质，某永村老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究．2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考．现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值M的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格．若合格．再进一步检测是否为一等品．因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如表所示．

指标
区间

[﹣2，﹣1）

[﹣1，0）

[0，1）

[1，2）

[2，3）

[3，4）

来源

改良
前

改良
后

改良
前

改良
后

改良
前

改良
后

改良
前

改良
后

改良
前

改良
后

改良
前

改良
后

个数

附：成品醋的品质采用指标值M进行评价．评价标准如表所示．

M∈[0，1）	M∈[1，3）	M∉[0，3）
一等品	二等品	三等品
合格		不合格

（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为X，求X的分布列：
（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润y（单位：元）与指标值M的关系为y＝

，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？

共享时间:2021-07-03 难度:2 相似度:1.5

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166894. （2024•高新一中•五模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p₁、p₂、p₃，假定p₁、p₂、p₃互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
（1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若