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德优网2015陕西省西安市莲湖区西安一中高中数学模考模拟

2015年陕西省西安一中高考数学一模试卷（理科）

试卷总分:70分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(10小题共50分)

1. （本题5分）若复数

（x∈R）为纯虚数，则x等于（　　）

A.．0

B.1

C.．﹣1

D.．0或1

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2. （本题5分）已知函数f（x）＝

定义域为M，g（x）＝ln（1+x）定义域N，则M∩N等于（　　）

A.{x|x＞﹣1}

B.．{x|x＜1}

C.．{x|﹣1＜x＜1}

D.．∅

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3. （本题5分）在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₃a₅＝4，则数列{log₂a_n}的前7项和等于（　　）

A.7

B.8

C.．2⁷

D.．2⁸

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4. （本题5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A＝60°，

＝（　　）

B.．1

C.．

D.．

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5. （本题5分）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（　　）（不考虑接触点）

D.．32+π

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6. （本题5分）已知图象不间断的函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．如图是用二分法求方程f（x）＝0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：
①f（a）f（m）＜0；②f（a）f（m）＞0；
③f（b）f（m）＜0；④f（b）f（m）＞0
其中能够正确求出近似解的是（　　）

A.．①③

B.②③

C.．①④

D.②④

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7. （本题5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P₀（

，﹣

），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（　　）

A.	B.
C.	D.．

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8. （本题5分）已知函数f（x）＝

若f（2﹣x²）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）

A.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）	B.．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C.（﹣1，2）	D.．（﹣2，1）

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9. （本题5分）已知双曲线方程为

＝1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则

的值为（　　）

B.．

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10. （本题5分）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a⊕b＝b⊕a；
②对任意a∈R，a⊕0＝a；
③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c＝c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．
函数f（x）＝x⊕

（x＞0）的最小值为（　　）

A.4

B.．3

C.．2

D.．1

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二、填空题(4小题共20分)

11. （本题5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为　．

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12. （本题5分）设D是不等式组

表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y＝10距离的最大值是　．

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13. （本题5分）在△ABC中，不等式

成立；在凸四边形ABCD中，不等式

成立；在凸五边形ABCDE中，不等式

成立．根据以上情况，猜想在凸n边形A₁A₂…A_n（n≥3）中的成立的不等式是　．

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14. （本题5分）下列说法中，正确的有　　（把所有正确的序号都填上）．
①“∃x∈R，使2^x＞3“的否定是“∀x∈R，使2^x≤3”；
②函数y＝sin（2x+

）sin（

﹣2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x＝x₀处有极值，则f'（x₀）＝0”的否命题是真命题；
④函数f（x）＝2^x﹣x²的零点有2个；
⑤

dx等于

．

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三、解答题(9小题共NaN分)

15. （本题5分）不等式选做题）若不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+

对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是　．

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16. （本题分）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED＝　　．

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17. （本题0分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，以点（1，0）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是　　．

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18. （本题12分）如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．
（1）若点A的坐标为

，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC＝x（0＜x＜

），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．

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19. （本题12分）已知数列{a_n}满足：a₁＝0且

＝1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n＝

（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜1．

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20. （本题12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计

P（K²≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

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21. （本题12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB＝AC＝5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求证：CE⊥平面AC₁D；
（3）求平面CAC₁与平面AC₁D的夹角的余弦值．

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22. （本题13分）已知圆C₁的方程为（x﹣4）²+（y﹣1）²＝

，椭圆C₂的方程为

，其离心率为

，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径．
（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）如果椭圆C₂的左右焦点分别是F₁、F₂，椭圆上是否存在点P，使得

，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

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23. （本题14分）设函数f（x）＝（1+x）²﹣mln（1+x），g（x）＝x²+x+a．
（1）当a＝0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m＝2时，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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dygzsxyn

2015-03-01

高中数学 | 模考 | 难度:1.78

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