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2023-2024学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷

试卷总分:100分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共48分)

1. （本题4分）直线

的倾斜角为（　　）

A.．

D.．

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2. （本题4分）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　）

A.若向量平行，则所在直线平行

B.若，则的长度相等而方向相同或相反

C.．若向量满足，则

D.．相等向量其方向必相同

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3. （本题4分）已知点A（1，3）、B（﹣2，﹣1），若过点P（2，1）的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

A.k≥

B.．k≤﹣2

C.k

或k≤﹣2

D.﹣2≤k≤

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4. （本题4分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，E、F分别是BC、CC₁的中点，G为△ABC的重心，则

＝（　　）

A.	B.
C.．	D.

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5. （本题4分）已知A（2，2，0）、B（1，4，2）、C（0，2，0），则原点O到平面ABC的距离是（　　）

C.．2

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6. （本题4分）已知圆

，圆

，则下列选项错误的是（　　）

A.两圆的圆心距离是	B.两圆有2条公切线
C.两圆相交	D.．公共弦长

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7. （本题4分）如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为（　　）

A.1

B.．2

C.．

D.．

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8. （本题4分）若点O和点F分别为椭圆

的中心和下焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

的最大值为（　　）

A.．2

B.．3

C.．6

D.．8

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9. （本题4分）对于直线l₂：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0和直线l₁：ax+2y+3a＝0，以下说法正确的有（　　）

A.直线l₂一定过定点

B.若l₁⊥l₂，则

C.．l₁∥l₂的充要条件是a＝3

D.点P（1，3）到直线l₁的距离的最大值为5

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10. （本题4分）一条光线从点A（﹣2，3）射出，经x轴反射后，与圆C：（x﹣3）²+（y﹣2）²＝1相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（　　）

A.．3x﹣4y﹣1＝0

B.．3x﹣4y﹣6＝0

C.4x﹣3y﹣1＝0

D.4x﹣3y﹣6＝0

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11. （本题4分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（　　）

A.．a﹣c＝m+R	B.．a+c＝n+R
C.2a＝m+n	D.

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12. （本题4分）如图，在菱形ABCD中，

，∠BAD＝60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为

，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（　　）

A.当AQ＝QC，4PD＝DB时，点D到直线PQ的距离为

B.线段PQ的最小值为

C.平面ABD⊥平面BCD

D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为

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二、填空题(4小题共16分)

13. （本题4分）已知圆

与圆

外切，则r＝　　．

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14. （本题4分）已知

，

是空间两个向量，若|

|＝2，|

﹣

|＝

，则cos＜

，

＞＝　．

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15. （本题4分）已知正方形ABCD，以该正方形其中一边的端点A、B为焦点，且过另外C，D两点的椭圆的离心率为　．

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16. （本题4分）已知直线l：x﹣y+4＝0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x²+y²＝4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为　．

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三、解答题(5小题共36分)

17. （本题4分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，加以解答
①与直线4x﹣3y+5＝0垂直；
②过点（5，﹣5）；
③与直线3x+4y+2＝0平行；
问题：已知直线l过点P（1，﹣2），且______．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆x²+y²＝5相交于点P，Q，求弦PQ的长．

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18. （本题8分）已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是4，离心率是

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P在该椭圆上，F₁，F₂为它的左、右焦点，且∠PF₁F₂＝120°，求△PF₁F₂的面积．

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19. （本题8分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点．
（1）求证：A₁D∥平面B₁CE；
（2）求直线CD与平面B₁CE所成角的正弦值．

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20. （本题8分）已知一个动点P在圆x²+y²＝36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程．
（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且满足

＝

，求直线l的方程．

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21. （本题8分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC＝3．
（1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；
（2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．

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dygzsxyn

2023-11-16

高中数学 | 考试 | 难度:1.57

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