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171395. (2023•西安中学•高二上期中) 中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFECDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EFABAB=2EFEAEDFBFC=3.
(1)当点N为线段AD的中点时,求证:直线AD⊥平面EFN
(2)当点N在线段AD上时(包含端点),求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围.

共享时间:2023-11-16 难度:2
[考点]
直线与平面垂直,空间向量法求解二面角及两平面的夹角,
[答案]
(1)证明见解答.
(2)
[解析]
解:(1)证明:因为点N为线段AD的中点,且EAED
所以ADEN
因为EFAB,且四边形ABCD为正方形,故ADAB
所以ADEF,而ENEFEENEF⊂平面EFN
AD⊥平面 EFN
(2)设正方形ABCD的中心为O,分别取ABBCEF的中点为PQS
设点H为线段AD的中点,由(1)知EFHQ四点共面,且AD⊥平面EFH
连接OSOS⊂平面EFH,故ADOS
AD⊂平面ABCD,故平面ABCD⊥平面EFHQ
且平面ABCD∩平面EFHQHQ
由题意可知四边形EFQH为等腰梯形,故OSHQ
OS⊂平面EFHQ,故OS⊥平面ABCD
故以O为坐标原点,xyz 轴建立空间直角坐标系,

因为AB=4,则A(2,﹣2,0),B(2,2,0),C(﹣2,2,0),D(﹣2,﹣2,0),
AB=2EF,故EF=2,
EF到底面ABCD的距离为h
四边形ABFECDEF为两个全等的等腰梯形,且EFAB
E(0,﹣1,h),F(0,1,h),又EAEDFBFC=3,
,∴h=2,则E(0,﹣1,2),F(0,1,2),

,∴
设平面 BFN 的一个法向量为
,令x=2,∴
设平面ADE的一个法向量为
,令c=1,∴

,则
,则
,则ft)在上单调递增,
故当时,,当时,

即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为
[点评]
本题考查了"直线与平面垂直,空间向量法求解二面角及两平面的夹角,",属于"易错题",熟悉题型是解题的关键。
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171067. (2024•高新一中•高二上期中) 如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCDADCDADBCPAADCD=2,BC=3,EPD的中点,点FPC上,且
(1)求证:AE⊥平面PCD
(2)求二面角FAED的正弦值;
(3)设点GPB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.

共享时间:2024-11-27 难度:2 相似度:2
166506. (2024•铁一中学•高二上二月) 如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,A1B1的中点,且EBEDC1EBE
(1)证明:①C1E⊥平面BDE
EAEC
(2)若AB1=3,求平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值.

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:2
169330. (2025•西安八十五中•高二上期末) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1CAB=3,BC=5.
(1)求证:BB1⊥平面ABC
(2)求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值.

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:2
169312. (2025•铁一中学•高二上期末) 如图,在四棱锥ABCDE中,ABACCD=2BE=4,BECDCDCBABAC,平面ABC⊥平面BCDEOBC中点.
(1)证明:AO⊥平面BCDE
(2)求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值;
(3)线段AC上是否存在一点Q,使OQ∥平面ADE?如果不存在,请说明理由;如果存在,求的值.

共享时间:2025-02-12 难度:3 相似度:1.67
166447. (2024•西工大附中•高三上二月) 已知边长为4的菱形ABCD(如图1),BD相交于点OE为线段AO上一点,将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥ABCD(如图2).
(1)证明:BDCE
(2)若三棱锥ABCD的体积为8,二面角BCEO的余弦值为,求OE的长.

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5
170168. (2023•铁一中学•高二上期末) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BCaPA⊥底面ABCD
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?证明你的结论;
(2)若在BC边上至少存在一点M,使PMDM,求a的取值范围.

共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:1.5
170057. (2023•西工大附中•高二上期末) 棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别是DD1DB的中点,G在棱CD上,且CGCD
(Ⅰ)证明:EFB1C
(Ⅱ)求cos<>.

共享时间:2023-03-01 难度:2 相似度:1
169945. (2023•长安区一中•高二上期末) 如图,在四棱锥SABCD中,ABDCBCABCDSD,平面SCD⊥平面SBC
(1)求证:BC⊥平面SCD
(2)设BCCD=8,SB=16,求三棱锥SBCD的体积.

共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:1
169876. (2023•长安区一中•高一下期末) 如图所示,在三棱锥PABC中,EP在底面ABC内的投影,且E为△ABC的垂心.
(1)若FCPAB内的投影,证明:PFAB
(2)当三棱锥PABC为正三棱锥且AB=6,PC与平面ABC所成角为时,求点C到平面PAB的距离.

共享时间:2023-07-01 难度:2 相似度:1
169739. (2023•师大附中•高二下期末) 如图,在三棱锥PABC中,ABBC=2PAPBPCAC=4,OAC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC
(2)若点MBC上且 =2,求点M到平面PAB的距离.

共享时间:2023-07-03 难度:2 相似度:1
169569. (2024•师大附中•高二下期末) 如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,∠BAD=120°,侧棱AA1⊥底面ABCDM为棱CD上的点.ADA1A=2,A1B1DM=1.
(1)求证:AMA1B
(2)若MCD的中点,N为棱DD1上的点,且,求平面A1MN与平面A1BD所成角的余弦值.

共享时间:2024-07-27 难度:2 相似度:1
261. (2014•陕西省•真题) 四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱ADBC的平面分别交四面体的棱ABBDDCCA于点EFGH
)求四面体ABCD的体积;
)证明:四边形EFGH是矩形.
                                                                                                               
 
共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:1
169525. (2024•铁一中学•高三上期末) 如图,已知三棱柱ABCA1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1AA1CACEF分别是ACA1B1的中点.
(Ⅰ)证明:EFBC
(Ⅱ)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:1
169394. (2024•西安中学•高三上期末) 如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,ADCD
(1)证明:ACBD
(2)已知△ACD是直角三角形,ABBD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

共享时间:2024-02-08 难度:2 相似度:1
169372. (2024•师大附中•高二上期末) 如图,△ABC和△DBC所在平面垂直,且ABBCBD=2,∠CBA=∠DBC=120°.
(1)求证:ADBC
(2)求二面角ABDC的正弦值.

共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:1

dygzsxyn

2023-11-16

高中数学 | 高二上 | 解答题

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2020*西工大*期末
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