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2023-2024学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设集合A＝{x|x²﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x²+2x＞0，x∈Z}，则A∩B的真子集共有（　　）

A.．15个

B.．16个

C.31个

D.32个

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2. （本题5分）若复数z（1﹣i）＝1+i，则|z|＝（　　）

B.．1

C.．

D.．2

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3. （本题5分）已知非零向量

，

满足

，且

，则向量

的模长为（　　）

A.．2

D.．3

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4. （本题5分） “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C（单位：A•h）、放电时间t（单位：h）、放电电流I（单位：A）三者之间满足关系

．假设某款电动汽车的蓄电池容量为3074A•h，正常行驶时放电电源为15A，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：

）（　　）

A.60h

B.．45h

C.．30h

D.．15h

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5. （本题5分）函数f（x）＝（3x﹣x³）•sinx的部分图象大致为（　　）

A.．

B.．

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6. （本题5分）已知cos（

+α）＝2cos（π﹣α），则tan（

﹣α）＝（　　）

A.．﹣4

B.．4

C.．﹣

D.．

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7. （本题5分）若

，

，c＝log₃7，则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a＞b＞c

B.．b＞c＞a

C.．c＞a＞b

D.c＞b＞a

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8. （本题5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+1（|φ|＜

）图象向左平移

个单位后关于直线x＝0对称，则下列关于函数f（x）说法正确的是（　　）

A.．在区间[，]上有一个零点

B.关于（，0）对称

C.在区间[，]上单调递增

D.在区间[，]上的最大值为2

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9. （本题5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，D是AC边的中点，点E满足

，则

与

的夹角为（　　）

A.．60°

B.．75°

C.90°

D.．120°

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10. （本题5分）若曲线

有三条过点（0，a）的切线，则实数a的取值范围为（　　）

A.．

B.．

C.．

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11. （本题5分）若α，β∈（0，

），且（1+cos2α）（1+sinβ）＝sin2αcosβ，则下列结论正确的是（　　）

D.．

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12. （本题5分）已知函数

，则下列说法中正确的是（　　）
①函数f（x）有两个极值点；
②若关于x的方程f（x）＝t恰有1个解，则t＞1；
③函数f（x）的图象与直线x+y+c＝0（c∈R）有且仅有一个交点；
④若f（x₁）＝f（x₂）＝f（x₃），且x₁＜x₂＜x₃，则（1﹣x₁）（x₂+x₃）无最值．

A.①②	B.①③④
C.．②③	D.①③

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）若变量x，y满足约束条件

，则z＝3x+y的最大值是　　．

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14. （本题5分）已知向量

，其中x＞0，y＞0，若

，则

的最小值为　　．

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15. （本题5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为g（x），若函数f（2x+2）为偶函数，函数g（x﹣1）为偶函数，则下列说法正确的序号有　　．
①函数f（x）关于x＝2轴对称；
②函数f（x）关于（﹣1，0）中心对称；
③若f（﹣2）＝1，f（5）＝﹣1，则g（26）+f（16）＝﹣3；
④若当﹣1≤x≤2时，f（x）＝e^x⁺¹﹣1，则当14≤x≤17时，f（x）＝e^17﹣x﹣1．

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16. （本题5分）设函数

，已知f（x）在[0，π]上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是　．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）已知函数f（x）＝2sin²x﹣3+2cosx．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）设g（x）＝2cosx（

sinx﹣1），求h（x）＝f（x）+g（x）的对称中心及单调递增区间．

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18. （本题12分）已知函数f（x）＝e^x﹣x²+2ax．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．

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19. （本题12分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bc（1+cosA）＝4a²．
（1）证明：b+c＝3a；
（2）若a＝2，

，角B的内角平分线与边AC交于点D，求BD的长．

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20. （本题12分） 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会．在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为

、

，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为

，且每轮答题结果互不影响．
（1）若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
（2）若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？

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21. （本题12分）已知函数

，g（x）＝x²﹣1﹣xlnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，求证：g（x₁）+g（x₂）+g（x₃）＞0．

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22. （本题10分）在平面直角坐标系xOy，曲线C₁的参数方程为：

（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为

．
（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若直线l：y＝kx（k＞0）与曲线C₁交于O，A两点，与曲线C₂交于O，B两点，求|OA|+|OB|取得最大值时直线l的直角坐标方程．

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23. （本题0分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，a，b∈R且a+b＞0．
（1）若函数f（x）的最小值为1，试证明点（a，b）在定直线上；
（2）若b＝1，x∈[0，1]时，不等式f（x）≤x+5恒成立，求实数a的取值范围．

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2023-11-22

高中数学 | 考试 | 难度:1.61

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