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171372. (2023•西安中学•高三上期中) 已知函数gx)=x2﹣1﹣xlnx
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)若函数fx)有三个零点x1x2x3,求证:gx1)+gx2)+gx3)>0.
共享时间:2023-11-22 难度:2
[考点]
利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,
[答案]
(1)当0<a≤2时,fx)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,fx)在上单调递增,在上单调递减.
(2)见解析.
[解析]
解:(1),设tx)=x2ax+1(x>0),则Δ=a2﹣4,
①若0<a≤2,则Δ=a2﹣4≤0,则tx)≥0成立,即f'(x)≥0成立,所以fx)在(0,+∞)上单调递增;
②若a>2,令tx)=x2ax+1=0,得,记,当x变化时,f'(x),fx)的变化情况如下表:
x (0,x4 x4 x4x5 x5 x5,+∞)
f'x + 0 0 +
fx 极大值 极小值
由表可知:fx)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明:由于有三个零点x1x2x3,不妨设x1x2x3,则a>2,
f(1)=0,知x2=1,故0<x1x2=1<x3,因为
所以,即
因此

所以,令
px)在(0,+∞)上单调递减,且p(1)=0,
,则
所以qx)在(0,+∞)上单调递减,且q(1)=0,因此Gx)≥G(1)=0,
,所以gx1)+gx2)+gx3)>0.
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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172422. (2022•西安中学•高二下期中) fx)=xexax2gx)=lnx+xx2+1﹣
(1)求gx)的单调区间;
(2)讨论fx)零点的个数;
(3)当a>0时,设hx)=fx)﹣agx)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2022-05-17 难度:2 相似度:2
168391. (2023•交大附中•十三模) 已知函数fx)=2xalnx
(1)当a=1时,求函数yfx)的单调区间;
(2)若函数fx)≥(a+2)xxex恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:2
167833. (2024•长安区一中•一模) 已知函数e=2.71828……是自然对数底数).
(1)当a=1时,讨论函数fx)的单调性;
(2)当a>1时,证明:fx)>1﹣ea
共享时间:2024-03-04 难度:2 相似度:2
167902. (2024•西安八十九中•三模) 已知函数,函数在区间[1,+∞)上为增函数.
(Ⅰ)确定θ的值,求m=3时曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)设函数hx)=fx)﹣gx)在x∈(0,+∞)上是单调函数,求实数m的取值范围.
共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:2
170774. (2020•西安中学•高二下期末) 已知函数fx)=lnxx
(1)若函数yfx)+m﹣2x+x2上恰有两个零点,求实数m的取值范围;
(2)记函数,设x1x2x1x2)是函数gx)的两个极值点,若,且gx1)﹣gx2)≥k恒成立,求实数k的最大值.
共享时间:2020-07-05 难度:2 相似度:2
168013. (2023•师大附中•十模) 已知函数fx)=exxgx)=ax2+1,a∈R.
(Ⅰ)求fx)在区间[﹣2,2]上的最值.
(Ⅱ)当x>0时,恒有fx)>gx),求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-02 难度:2 相似度:2
169635. (2024•西安三中•高二上期末) 已知函数,其中a>0.
(1)判断函数fx)的单调性;
(2)若gx)=xfx),且当ax2x1x2时,gx1)=gx2),证明:
共享时间:2024-02-04 难度:2 相似度:2
168197. (2023•西工大附中•八模) 已知函数fx)=alnx﹣2xa≠0).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)当x>0时,不等式恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:2
170598. (2021•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=axexa∈R),
(Ⅰ)求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)∃x0∈(0,+∞),使不等式fx)≤gx)﹣ex成立,求a的取值范围.
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:2
170595. (2021•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=ax+b,在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y﹣10=0,求
(1)实数ab的值;
(2)函数fx)的单调区间以及在区间[0,3]上的最值.
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:2
168460. (2021•西安中学•七模) 已知函数fx)=
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若x1x2x1x2)是fx)的两个零点,求证:
共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:2
171048. (2025•高新一中•高二下期中) 已知函数fx)=2lnxax2+1(a∈R).
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)若存在正数x,使fx)≥0成立,求a的取值范围;
(3)若0<x1x2,证明:对任意a∈(0,+∞),存在唯一的实数x0∈(x1x2),使得成立.
共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:2
168529. (2021•西安中学•六模) 已知函数fx)=lnx+a(1﹣x).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)当fx)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.
共享时间:2021-05-18 难度:2 相似度:2
170125. (2023•铁一中学•高三上期末) 设函数fx)=x3﹣(1+ax2+4ax+24a,其中常数a>1
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若当x≥0时,fx)>0恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:2
170013. (2023•西工大附中•高三上期末) 已知函数fx)=xlnx﹣2x
(1)求函数fx)的最小值;
(2)求函数gx)=fx)+xe的单调区间;
(3)若函数hx)=fx)﹣mxx∈[1,+∞)单调递增,求实数m的取值范围.
共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:2

dygzsxyn

2023-11-22

高中数学 | 高三上 | 解答题

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2020*西工大*期末
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