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2024-2025学年陕西省西安市高新一中高二（下）期中数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(9小题共46分)

1. （本题5分）已知角α终边上有一点

，则α是（　　）

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

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2. （本题5分）已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（　　）

A.若l⊥n，m⊥n，则l∥m

B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β

C.若l∥α，l⊥m，则m⊥α

D.若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β

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3. （本题5分）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角

的概率是（　　）

C.．

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4. （本题5分）在流行病学中，基本传染数R₀是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R₀一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R₀≈4，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（　　）轮传染？（初始感染者传染R₀个人为第一轮传染，这R₀个人每人再传染R₀个人为第二轮传染……）

A.4

B.．5

C.．6

D.．7

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5. （本题5分）已知函数f（x）＝e^x﹣e^﹣x+sinx，若f（a）+f（1+2a）＞0，则a的取值范围为（　　）

A.（﹣1，+∞）

B.（﹣∞，﹣1）

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6. （本题5分）高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（　　）

A.42种

B.．96种

C.120种

D.144种

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7. （本题5分）设双曲线E：

的左、右焦点分别为F₁，F₂，以坐标原点O为圆心、|OF₂|为半径的圆与E的渐近线在第一象限的交点为M，直线MF₁与E的左支交于点N，若|MN|＝2|NF₁|，则E的离心率为（　　）

C.．

D.．

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8. （本题5分）设a＝

，b＝ln

，c＝sin

，则（　　）

A.．c＜a＜b

B.a＜b＜c

C.．c＜b＜a

D.．b＜a＜c

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9. （本题6分）已知数列{a_n}的前n项和S_n＝（n+1）²，则（　　）

A.a_n＝2n+1

B.{（﹣1）ⁿa_n}前2n项和为（2n+1）²

D.．

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二、多选题(2小题共12分)

10. （本题6分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，以下四个命题正确的是（　　）

A.若，且该三角形有两解，则b的范围是

B.若，则点O为△ABC的外心

C.若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC

D.存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍

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11. （本题6分）如图，正方形ABCD的中心为O，边长为4，将其沿对角线AC折成直二面角D′﹣AC﹣B，设M为AD′的中点，N为BC的中点，则下列结论正确的有（　　）

A.三棱锥D′﹣ABC的外接球表面积为32π

B.．直线MN与平面ABC所成角的正切值为

C.．点C到平面OMN的距离为

D.三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）在

的展开式中，常数项为75，则a＝　．

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13. （本题5分）若曲线y＝e^x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　　．

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14. （本题5分） Cassini卵形线是由法国天文家Jean﹣Dominique Cassini（1625﹣1712）引入的．卵形的定义：线上的任何点到两个固定点S₁，S₂的距离的乘积等于常数b²．b是正常数，设S₁，S₂的距离为2a，如果a＜b，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a＝b，就得到一个双纽线；如果a＞b，就得到两个卵形线．若S₁（0，﹣2），S₂（0，2）．动点P满足|PS₁||PS₂|＝4，若A和A′是动点P的轨迹与y轴交点中距离最远的两点，则△APA′面积的最大值为　．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+

asinC﹣b﹣c＝0．
（1）求A；
（2）若a＝2

，则△ABC的面积为2

，求b，c．

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16. （本题15分）已知数列{a_n}的首项

，且满足

．
（1）求证：数列

为等比数列；
（2）若

，求满足条件的最大整数n．

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17. （本题15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若PC⊥AB，PC＝

，PB＝2，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．

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18. （本题17分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax²+1（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在正数x，使f（x）≥0成立，求a的取值范围；
（3）若0＜x₁＜x₂，证明：对任意a∈（0，+∞），存在唯一的实数x₀∈（x₁，x₂），使得

成立．

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19. （本题17分）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

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dygzsxyn

2025-04-30

高中数学 | 考试 | 难度:1.63

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