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2021-2022学年陕西省西安市长安一中高二（下）期末数学试卷（文科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x²﹣4x+3＝0}，则∁_U（A∪B）＝（　　）

A.{1，3}

B.{0，3}

C.．{﹣2，1}

D.．{﹣2，0}

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2. （本题5分）已知复数z满足z+z•i＝2（其中i为虚数单位），则z的虚部为（　　）

A.﹣1

B.1

C.．﹣i

D.i

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3. （本题5分）已知a＝e¹ⁿ²，b＝log₃4，c＝2^1.1，则（　　）

A.．a＞b＞c

B.c＞a＞b

C.．a＞c＞b

D.c＞b＞a

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4. （本题5分）已知向量

，

满足|

|＝1，|

|＝2，|

﹣2

|＝

，则

•

＝（　　）

A.．

C.﹣

D.﹣

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5. （本题5分）已知双曲线E：

＝1（a＞0，b＞0）以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为（　　）

A.．2

﹣2

B.．2

﹣1

D.．

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6. （本题5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（　　）

A.若m∥α，m∥β，则α∥β	B.若m∥α，n∥α，则m∥n
C.若m⊥α，n⊥α，则m∥n	D.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

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7. （本题5分）

A.．必要不充分条件	B.充分不必要条件
C.．充要条件	D.既不充分也不必要条件

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8. （本题5分）若x＝

是函数f（x）＝cosωx（ω≠0）图象的对称轴，则f（x）的最小正周期的最大值是（　　）

A.．π

B.．2π

C.．

D.．

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9. （本题5分）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积．刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内．据此实验估计圆周率的近似值为（　　）

B.．

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10. （本题5分）在公差大于0的等差数列{a_n}中，2a₇﹣a₁₃＝1，且a₁，a₃﹣1，a₆+5成等比数列，则数列{（﹣1）ⁿ^﹣1a_n}的前21项和为（　　）

A.．21

B.．﹣21

C.．441

D.．﹣441

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11. （本题5分）椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为

，则C的离心率为（　　）

B.．

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12. （本题5分）已知实数a、b，满足a＝log₅6+log₂₆25，3^a+4^a＝5^b，关于a、b下列判断正确的是（　　）

A.a＜b＜2

B.．b＜a＜2

C.．2＜a＜b

D.．2＜b＜a

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）某区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取6个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为　　．

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14. （本题5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣3），C（0，3），则顶点A的轨迹方程是　．

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15. （本题5分）若x＝1是函数f（x）＝（x²+ax﹣1）e^x^﹣1的极值点，则f（x）的极大值为　．

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16. （本题5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，AD＝2，AB＝3，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，且直线PB与CD所成角的正切值为

，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为　

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题10分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+

cosA＝0，a＝2

，b＝2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

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18. （本题12分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，E是AD中点，将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置，使得

，如图2．
（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；
（2）求C到平面PBE的距离．

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19. （本题12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在[150，250），[250，350），[350，450），[450，550），[550，650]（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．
（1）估计这组数据的平均数；
（2）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以10元/千克收购；
方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．
请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

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20. （本题12分）已知椭圆C₁：

的离心率为

，

是椭圆C₁上的点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P为椭圆C₁上的任意一点，过点P作C₁的切线与圆C₂：x²+y²＝12交于A，B两点，设OA，OB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值，并求该定值．

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21. （本题12分）已知函数f（x）＝alnx．
（Ⅰ）讨论函数g（x）＝x﹣1﹣f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）证明：当a＝1且x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立．

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22. （本题12分）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

（t为参数且t≠1），曲线C₁与x轴，y轴分别交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为

．
（1）求A，B两点的直角坐标及曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设直线AB与曲线C₂：交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．

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23. （本题0分）已知f（x）＝2|x﹣1|+|x﹣2|﹣a，若f（x）≥0在R上恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设实数a的最大值为m，若正数b，c满足

，求bc+c+2b的最小值．

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dygzsxyn

2022-07-05

高中数学 | 考试 | 难度:1.35

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