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首页 > 试题列表 > 单题解析
170371. （2022•长安区一中•高二下期末） 已知函数f（x）＝alnx．
（Ⅰ）讨论函数g（x）＝x﹣1﹣f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）证明：当a＝1且x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立．
共享时间:2022-07-05 难度:3
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[考点]
利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值，
[答案]
见试题解答内容
[解析]
解：（Ⅰ）g（x）＝x﹣1﹣f（x）＝x﹣1﹣alnx，（x＞0），
g′（x）＝1﹣＝，
当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）递增，函数g（x）无极值；
当a＞0时，令g′（x）＞0，解得：x＞a，令g′（x）＜0，解得：x＜a，
故g（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
函数g（x）有极小值g（a）＝a﹣1﹣alna，无极大值．
（Ⅱ）证明：方法一：当a＝1，x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立，
等价于恒成立．
令，则．
所以，当x≥1时，h'（x）≥0，
所以，h（x）在[1，+∞）上单调递增．
h（x）≥h（1）＝0，所以．
即当x∈[1，+∞）时，（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立．
方法二：当a＝1，x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立，
等价于（x+1）f（x）﹣2（x﹣1）≥0恒成立，
即（x+1）lnx﹣2（x﹣1）≥0恒成立，
令h（x）＝（x+1）lnx﹣2（x﹣1），x≥1，则．
令，则，
因为x≥1，所以，所以φ（x）＝h'（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以h'（x）≥h'（1）＝0，
故h（x）在[1，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）＝0，
即（x+1）lnx﹣2（x﹣1）≥0，
所以，当x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立．
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。
转载声明：
本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！ ！版权申诉
170665. （2021•长安区一中•高二上期末） 已知函数f（x）＝alnx+2x2﹣4x（a∈R）．
（1）若x＝2是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；
（2）求g（x）＝f（x）﹣ax在区间[1，e]上的最小值h（a）．
共享时间:2021-02-18 难度:3 相似度:2
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170576. （2021•西安中学•高二上期末） 已知f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a＝1时，函数f（x）的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；
（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
共享时间:2021-02-20 难度:3 相似度:2
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172095. （2023•铁一中学•高二下期中） 已知函数f（x）＝e﹣x（x2+3x+3）﹣m（x2+2x﹣3）（e≈2.71828是自然对数的底数），若函数f（x）有3个极值点x1，x2，x3，（x1＞x2＞x3）．
（1）求实数m的取值范围；
（2）证明：．
共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:1.67
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168391. （2023•交大附中•十三模） 已知函数f（x）＝2x﹣alnx．
（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≥（a+2）x﹣xex恒成立，求实数a的取值范围．
共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:1.67
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168689. （2021•西安中学•仿真） 已知函数f（x）＝xsinx+cosx+．
（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣π，π]上的单调区间；
（2）当a＞0时，讨论f（x）在[0，π]上的零点个数．
共享时间:2021-06-10 难度:2 相似度:1.67
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168666. （2021•西安中学•仿真） 已知函数．
（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
共享时间:2021-06-07 难度:2 相似度:1.67
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168529. （2021•西安中学•六模） 已知函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．
共享时间:2021-05-18 难度:2 相似度:1.67
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168460. （2021•西安中学•七模） 已知函数f（x）＝．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点，求证：．
共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:1.67
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170774. （2020•西安中学•高二下期末） 已知函数f（x）＝lnx﹣x．
（1）若函数y＝f（x）+m﹣2x+x2在上恰有两个零点，求实数m的取值范围；
（2）记函数，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．
共享时间:2020-07-05 难度:2 相似度:1.67
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170598. （2021•西安中学•高二上期末） 已知函数f（x）＝ax﹣ex（a∈R），．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex成立，求a的取值范围．
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:1.67
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168322. （2021•西安中学•十模） 已知函数f（x）＝x﹣﹣lnx（a∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．
（1）求实数a的取值范围，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x2）＞ln2．
共享时间:2021-07-10 难度:2 相似度:1.67
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168197. （2023•西工大附中•八模） 已知函数f（x）＝alnx﹣2x（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，不等式恒成立，求a的取值范围．
共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:1.67
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168174. （2023•西工大附中•八模） 已知函数f（x）＝k（x﹣1）ex﹣x2（k∈R）．
（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个极值点，且极小值大于﹣5，求实数k的取值范围．
共享时间:2023-06-15 难度:2 相似度:1.67
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168150. （2023•西工大附中•六模） 已知函数f（x）＝（a+3）x+2lnx，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）对∀x＞0，不等式f（x）≤x2ex﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
共享时间:2023-05-19 难度:2 相似度:1.67
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170796. （2020•西安中学•高二上期末） 已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣（a＞0）
（1）若a＝l，求f（x）的极值；
（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．
共享时间:2020-02-24 难度:2 相似度:1.67
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dygzsxyn

2022-07-05

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2020*西工大*期末
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