已知函数讨论函数的单调性与极值证明当且时不等式恒成立

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170371. （2022•长安区一中•高二下期末）已知函数f（x）＝alnx．
（Ⅰ）讨论函数g（x）＝x﹣1﹣f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）证明：当a＝1且x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立．

共享时间:2022-07-05 难度:3

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[考点]

利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值，

[答案]

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[解析]

解：（Ⅰ）g（x）＝x﹣1﹣f（x）＝x﹣1﹣alnx，（x＞0），
g′（x）＝1﹣

＝

，
当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）递增，函数g（x）无极值；
当a＞0时，令g′（x）＞0，解得：x＞a，令g′（x）＜0，解得：x＜a，
故g（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
函数g（x）有极小值g（a）＝a﹣1﹣alna，无极大值．
（Ⅱ）证明：方法一：当a＝1，x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立，
等价于

恒成立．
令

，则

．
所以，当x≥1时，h'（x）≥0，
所以，h（x）在[1，+∞）上单调递增．
h（x）≥h（1）＝0，所以

．
即当x∈[1，+∞）时，（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立．
方法二：当a＝1，x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立，
等价于（x+1）f（x）﹣2（x﹣1）≥0恒成立，
即（x+1）lnx﹣2（x﹣1）≥0恒成立，
令h（x）＝（x+1）lnx﹣2（x﹣1），x≥1，则

．
令

，则

，
因为x≥1，所以

，所以φ（x）＝h'（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以h'（x）≥h'（1）＝0，
故h（x）在[1，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）＝0，
即（x+1）lnx﹣2（x﹣1）≥0，
所以，当x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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167648. （2024•西安中学•一模）已知函数f（x）＝e^x﹣x．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若对任意x＞0，

有解，求a的取值范围．

共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:1.67

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167966. （2023•师大附中•十一模）已知函数f（x）＝4lnx﹣ax+

（a≥0）．
（1）当a＝

，求f（x）的极值．
（2）当a≥1时，设g（x）＝2e^x﹣4x+2a，若存在x₁，x₂∈[

，2]，使f（x₁）＞g（x₂），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e＝2.71828…）

共享时间:2023-07-18 难度:2 相似度:1.67

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167475. （2023•关山中学•高一上一月）已知函数f（x）＝x²+ax﹣2lnx（a∈R）．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-10-11 难度:2 相似度:1.67

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167372. （2024•长安区•高二下一月）已知函数f（x）＝ae^x﹣x﹣a．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值集合；
（3）若存在

，且f（x₁）+x₁（1﹣cosx₁）＝f（x₂）+x₂（1﹣cosx₂）＝0，求a的取值范围．

共享时间:2024-04-22 难度:2 相似度:1.67

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167833. （2024•长安区一中•一模）已知函数

（e＝2.71828……是自然对数底数）．
（1）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞1时，证明：f（x）＞1﹣e^a．

共享时间:2024-03-04 难度:2 相似度:1.67

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167351. （2023•长安区一中•高三上二月）已知函数f（x）＝ax+x²lnx．
（1）证明：当a≤0时，函数f（x）有唯一的极值点；
（2）设a为正整数，若不等式f（x）＜e^x在（0，+∞）内恒成立，求a的最大值．

共享时间:2023-12-15 难度:2 相似度:1.67

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167328. （2023•长安区一中•高三上二月）已知函数f（x）＝lnx+ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）﹣xe^x≤0恒成立，求a的取值范围．（参考数据：

，ln2≈0.7）

共享时间:2023-12-21 难度:2 相似度:1.67

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167281. （2023•长安区一中•高三上五月）已知函数

（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：

共享时间:2023-12-29 难度:2 相似度:1.67

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167192. （2023•周至四中•一模）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣

．
（1）当a＝2，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤﹣e^﹣ax恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2023-03-04 难度:2 相似度:1.67

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167902. （2024•西安八十九中•三模）已知函数

，函数

在区间[1，+∞）上为增函数．
（Ⅰ）确定θ的值，求m＝3时曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（0，+∞）上是单调函数，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:1.67

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167990. （2023•师大附中•十一模）已知函数

（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：

共享时间:2023-07-16 难度:2 相似度:1.67

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168013. （2023•师大附中•十模）已知函数f（x）＝e^x﹣x，g（x）＝ax²+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．
（Ⅱ）当x＞0时，恒有f（x）＞g（x），求实数a的取值范围．

共享时间:2023-07-02 难度:2 相似度:1.67

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167040. （2023•西安中学•高三上一月）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣2（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有最大值M，且M＞a﹣4，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-10-27 难度:2 相似度:1.67

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168036. （2023•西安中学•七模）设函数f（x）＝（x﹣a）²（x+b）e^x，a，b∈R．
（1）若b＝0，当x≥0时，f（x）单调递增，求a的取值范围；
（2）若x＝0是f（x）的一个极大值点．
（i）当a＝0，求b的取值范围；
（ii）当a是给定的实常数，设x₁，x₂，x₃是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列