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2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高二（上）期末数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知

，

，且

，则向量

与

的夹角为（　　）

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2. （本题5分）与直线y＝﹣2x+3平行，且与直线y＝3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是（　　）

A.y＝﹣2x+4

B.y＝

x+4

C.y＝﹣2x﹣

D.．y＝

x﹣

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3. （本题5分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点M是底面△A₁B₁C₁的重心，若

，

，则

＝（　　）

A.	B.
C.．	D.．

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4. （本题5分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2（a_n+1），则a₂的值为（　　）

A.．﹣4

B.﹣2

C.﹣6

D.．﹣8

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5. （本题5分）若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F₁（﹣2，0），F₂（2，0），则这个椭圆的离心率等于（　　）

B.．

D.．

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6. （本题5分）已知数列{a_n}是等差数列，若a₄+a₇+a₁₀＝17，a₄+a₅+a₆+...+a₁₃+a₁₄＝77，则公差d＝（　　）

A.1

D.．

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7. （本题5分）已知三棱台ABC﹣A₁B₁C₁的六个顶点都在球O的球面上，AA₁＝BB₁＝CC₁＝

，△ABC和△A₁B₁C₁分别是边长为

和2

的正三角形，则球O的体积为（　　）

C.36π

D.．

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8. （本题5分）下列方程关于x＝y对称的是（　　）

A.x²﹣x+y²＝1

B.x²y+xy²＝1

C.x﹣y＝1

D.．x²﹣y²＝1

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9. （本题5分）在平面直角坐标系中，已知圆K：

，其中k≠0，则（　　）

A.圆K过定点	B.圆K的圆心在定直线上
C.．圆K与定直线相切	D.圆K与定圆相切

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10. （本题5分）疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展．某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1～6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为a₁，第二次为a₂，设

，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（　　）

A.．P（a₁+a₂＝5）＝	B.事件a₁＝6与A＝0互斥
C.P（a₁＞a₂）＝	D.事件a₂＝1与A＝0对立

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11. （本题5分）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用a_n表示斐波那契数列的第n项，则数列{a_n}满足：a₁＝a₂＝1，a_n₊₂＝a_n₊₁+a_n，记

＝a₁+a₂+…+a_n，则下列结论正确的是（　　）

A.a₆＝8

B.3a_n＝a_n_﹣2+a_n₊₂（n≥3）

C.．

D.＝a₂₀₂₁•a₂₀₂₂

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12. （本题5分）棱长为1的正方体A₁B₁C₁D₁﹣ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A₁D₁上一点，且

，λ∈[0，1]，N为线段AQ的中点，下列命题中正确的是（　　）

A.三棱锥A﹣DMN的体积与λ的取值无关

B.．当时，点Q到直线AC的距离是

C.当时，

D.当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）若向量

，且

，则m＝　．

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14. （本题5分）双曲线

﹣

＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为　．

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15. （本题5分）已知向量

，

与

的夹角为

，且

，则实数λ的值为　．

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16. （本题5分）已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意p，q∈N^*，有a_pa_q＝a_p_+q，若a₂＝4，则a₁＝　2　，S₆＝　　．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）设直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．
（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（x_A，0），B（0，y_B），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长及此时的直线方程；
（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．

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18. （本题12分） 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法．民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，抽查了100名学生进行测试，并按学生的成绩（单位：分）制成如图所示频率分布直方图．
（1）求m的值；
（2）若成绩在80分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数；
（3）如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试．

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19. （本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？证明你的结论；
（2）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

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20. （本题12分）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃＝6，S₄＝20．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₁，a_k，S_k₊₂成等比数列，求正整数k的值．

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21. （本题12分）已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的离心率为

，短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．

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22. （本题12分）如图，点

是圆

内的一个定点，点P是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．

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2023-02-15

高中数学 | 考试 | 难度:1.55

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