设直线的方程为求证不论为何值直线必过一定点若直线分别与轴正半轴轴正半轴交于点当面积最小时求的周长及此时的直线方程当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时求直线的方程

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170166. （2023•铁一中学•高二上期末）设直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．
（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（x_A，0），B（0，y_B），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长及此时的直线方程；
（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．

共享时间:2023-02-15 难度:3

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[考点]

直线的截距式方程，直线的一般式方程与直线的性质，恒过定点的直线，

[答案]

（1）证明过程请看解答；

（2）当△AOB面积最小时，△AOB的周长为10+2

，此时的直线方程为3x+2y﹣12＝0；

（3）3x+y﹣9＝0．

[解析]

（1）证明：将（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0整理成（x﹣2）a+x+y﹣5＝0，
令

，解得x＝2，y＝3，
所以定点P为（2，3），
故不论a为何值，直线l必过一定点P．
（2）解：由题意知，x_A＝

，y_B＝5+2a，
所以△AOB面积S＝

•|x_A|•|y_B|＝

•|

•（5+2a）|＝

•|

|
＝

•|

|＝

•|4（a+1）+

+12|
≥

•|2

+12|＝12，
当且仅当4（a+1）＝

，即a＝

或﹣

时，等号成立，
当a＝﹣

时，A，B两点均为（0，0），不存在△AOB，舍去，
所以a＝

，
此时A（4，0），B（0，6），|AB|＝

＝2

，
所以△AOB的周长为4+6+2

＝10+2

，
直线方程为

＝1，即3x+2y﹣12＝0．
故当△AOB面积最小时，△AOB的周长为10+2

，此时的直线方程为3x+2y﹣12＝0．
（3）解：因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，
所以不妨设5+2a＝k（a+1），k∈N^*，则a＝

，
又a也为正整数，所以

＞0，即2＜k＜5，所以k＝3或4，
当k＝3时，a＝2，此时A（3，0），B（0，9），所以直线l的方程为

＝1，即3x+y﹣9＝0；
当k＝4时，a＝

，不符合题意，舍去，
综上所述，直线l的方程为3x+y﹣9＝0．

[点评]

本题考查了"直线的截距式方程，直线的一般式方程与直线的性质，恒过定点的直线，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171716. （2023•西安八十五中•高二上期中）直线l经过两条直线l₁：x+y﹣4＝0和l₂：x﹣y+2＝0的交点，且_____．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与坐标轴围成的三角形面积．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线2x﹣y﹣1＝0平行．
②直线l在x轴上的截距为﹣

．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.33

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166955. （2023•师大附中•高二上一月）已知△ABC的顶点A（5，1），边AB上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，边AC上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．

共享时间:2023-10-18 难度:1 相似度:1.33

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167566. （2023•关山中学•高二上一月）已知在△ABC中，A，B的坐标分别为（﹣1，2），（4，3），AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线MN的方程．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.33

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166562. （2024•华清中学•高二上一月）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　．

共享时间:2024-10-24 难度:1 相似度:1.33

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171160. （2024•西安八十五中•高二上期中）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．
（1）求证：不论m为何值，直线l必过定点M（3，1）；
（2）过点M引直线l₁交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长．

共享时间:2024-11-25 难度:2 相似度:0.83

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166584. （2024•华清中学•高二上一月）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:0.83

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166874. （2024•西安八十三中•高二上二月）已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为2．记点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若P，Q是曲线C上两点，试判断点（﹣1，2）能否成为线段PQ的中点，如果可以，求出直线PQ的方程；如果不可以，请说明理由．

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:0.83

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169482. （2024•西工大附中•高二上期末）已知抛物线的方程是y²＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）若弦AB的中点为（3，3），求直线l的方程；
（2）若y₁y₂＝﹣12，求证：直线l过定点．

共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:0.83

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171480. （2023•西工大附中•高二上期中）已知圆C：（x﹣1）²+（y﹣2）²＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）．
（1）证明：直线l恒过定点，且直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

共享时间:2023-11-17 难度:2 相似度:0.83

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170527. （2022•高新三中•高一下期中）根据下列条件，分别写出直线的方程：
（1）过点P（1，5），且在y轴上的截距为6；
（2）过点P（﹣3，4），且在x轴上的截距为3．

共享时间:2022-05-23 难度:2 相似度:0.83

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170725. （2020•西安中学•高一上期末）求满足下列条件的直线的一般式方程：
（1）经过点A（﹣1，2），且与x轴垂直；
（2）经过两点A（﹣3，5），B（4，﹣2）．

共享时间:2020-02-05 难度:2 相似度:0.83

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170895. （2024•师大附中•高二上期中）已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为2．记点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若P，Q是曲线C上两点，试判断点（﹣1，2）能否成为线段PQ的中点，如果可以，求出直线PQ的方程；如果不可以，请说明理由．

共享时间:2024-11-18 难度:2 相似度:0.83

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170950. （2024•西工大附中•高二上期中）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y+m﹣4＝0，圆C：x²+y²﹣4x﹣6y+8＝0．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求直线l被圆C截得的弦长．

共享时间:2024-11-30 难度:2 相似度:0.83

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166427. （2024•西光中学•高二上一月）已知△ABC的三个顶点为A（4，0），B（0，2），C（2，6）．
（1）求AC边上的高BD所在直线的方程；
（2）求BC边上的中线AE所在直线的方程．

共享时间:2024-10-12 难度:3 相似度:0.66

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169946. （2023•长安区一中•高二上期末）已知动圆过定点A（0，3），且在x轴上截得的弦长为6．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设不与x轴垂直的直线l与点M的轨迹交于不同的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．若

，求证：直线l过定点．

共享时间:2023-02-10 难度:3 相似度:0.66

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2023-02-15

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2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高二（上）期末数学试卷

更新:2023-02-15 04:46浏览量:16

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