如图在四棱锥中底面是矩形底面当为何值时平面证明你的结论若在边上至少存在一点使求的取值范围

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170168. （2023•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？证明你的结论；
（2）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

共享时间:2023-02-15 难度:1

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[考点]

直线与平面垂直，

[答案]

（1）a＝2，证明见详解；（2）a∈[4，+∞）．

[解析]

解：（1）当a＝2时，四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC．
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥PA，
又AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC
所以BD⊥平面PAC．
故当a＝2时，BD⊥平面PAC．
（2）设M是符合条件的BC边上的点．
因为PA⊥平面ABCD，DM⊂平面ABCD
所以DM⊥PA，
又PM⊥DM，PA∩PM＝P，PA⊂平面PAM，PM⊂平面PAM
所以DM⊥平面PAM，
因为AM⊂平面PAM，
所以DM⊥AM．
因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点．
则半径

，即a≥4．
所以a∈[4，+∞）．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

261. （2014•陕西省•真题）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．

共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:1.5

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170552. （2021•西安中学•高一上期末）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．

共享时间:2021-02-10 难度:2 相似度:1.5

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169077. （2020•西工大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．
（1）证明：DE⊥平面ABCD；
（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为

，求λ的值．

共享时间:2020-04-06 难度:2 相似度:1.5

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169123. （2020•西工大附中•三模）已知一等腰梯形ABCD，如图（1）所示，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，如图（2）所示，连接BD，得三棱锥D﹣ABC．
（1）求证：图（2）中BC⊥平面ACD；
（2）求图（2）中的二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2020-04-03 难度:2 相似度:1.5

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169193. （2020•交大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为

的菱形，∠BCD＝60°，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，EF∥AB，FB＝FC，EF＝

．
（1）求证：OE⊥平面ABCD；
（2）若△FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q﹣BC﹣A的余弦值．

共享时间:2020-04-15 难度:2 相似度:1.5

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169330. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．
（1）求证：BB₁⊥平面ABC；
（2）求平面A₁C₁B与平面B₁C₁B夹角的余弦值．

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:1.5

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169372. （2024•师大附中•高二上期末）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠DBC＝120°．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:1.5

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169394. （2024•西安中学•高三上期末）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

共享时间:2024-02-08 难度:2 相似度:1.5

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169525. （2024•铁一中学•高三上期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A₁A＝A₁C＝AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:1.5

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169569. （2024•师大附中•高二下期末）如图，在四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝120°，侧棱AA₁⊥底面ABCD，M为棱CD上的点．AD＝A₁A＝2，A₁B₁＝DM＝1．
（1）求证：AM⊥A₁B；
（2）若M为CD的中点，N为棱DD₁上的点，且