一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂并只受重力的影响这个项链形成的曲线形状被称为悬链线年莱布尼茨惠根斯和约翰伯努利等得到悬链线方程其中为参数当时就是双曲余弦函数类似地双曲正弦函数它们与正余弦函数有许多类似的性质类比三角函数的三个性质倍角公式平方关系求导公式

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166896. （2024•高新一中•五模）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程

，其中c为参数．当c＝1时，就是双曲余弦函数

，类似地双曲正弦函数

，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比三角函数的三个性质：
①倍角公式sin2x＝2sinxcosx；
②平方关系sin²x+cos²x＝1；
（2）求导公式

写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
①当x＞0时，双曲正弦函数y＝sh（x）的图象总在直线y＝kx的上方，求实数k的取值范围：
②若x₁＞0，x₂＞0，证明：
[ch（x₂）+sh（x₂）﹣x₂﹣1]•[ch（x₁）+sh（x₁）]＞sin（x₁+x₂）﹣sinx₁﹣x₂cosx₁．

共享时间:2024-05-13 难度:1

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组卷

[考点]

类比推理，

[答案]

（1）倍角公式：sh（2x）＝2sh（x）ch（x），
平方关系：ch²（x）﹣sh²（x）＝1；
导数关系：

；
证明见解析．
（2）（﹣∞，1]．
（3）证明见解析．

[解析]

解：（1）类比三角函数的三个性质，得出双曲正弦的倍角公式：sh（2x）＝2sh（x）ch（x）；
平方关系：ch²（x）﹣sh²（x）＝1；
导数关系：

；
证明如下

，

．
（2）构造函数F（x）＝sh（x）﹣kx，x∈（0，+∞），
可得F′（x）＝ch（x）﹣k，
①当k≤1时，由

，
又因为x＞0，故e^x≠e^﹣x，等号不成立，
所以F'（x）＝ch（x）﹣k＞0，故F（x）为增函数，
此时F（x）＞F（0）＝0，故对任意x＞0，sh（x）＞kx恒成立，满足题意；
②当k＞1时，令G（x）＝F'（x），x∈（0，+∞），
则G'（x）＝sh（x）＞0，所以G（x）是增函数，
由G（0）＝1﹣k＜0与

知，存在唯一的x₀∈（0，ln2k），使得G（x₀）＝0，
所以当x∈（0，x₀）时，F'（x）＝G（x）＜G（x₀）＝0，F（x）在（0，x₀）上为减函数，
所以对任意x∈（0，x₀），F（x）＜F（0）＝0，即sh（x）＞kx，矛盾；
综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．
（3）因为ch（x）+sh（x）＝e^x，
所以原式变为

，
即证

．
设函数f（x）＝e^x﹣sinx，即证f（x₁+x₂）＞f（x₁）+x₂f'（x₁），
f'（x）＝e^x﹣cosx，设t（x）＝f'（x）＝e^x﹣cosx，
t'（x）＝e^x+sinx，x＞0时，t'（x）＞0，t（x）在（0，+∞）上单调递增，
即f'（x）＝e^x﹣cosx在（0，+∞）上单调递增，
设h（x）＝f（x+x₁）﹣f（x₁）﹣xf'（x₁），（x＞0），
h'（x）＝f'（x+x₁）﹣f'（x₁），
由于f'（x）在（0，+∞）上单调递增，x+x₁＞x₁，
所以f'（x+x₁）＞f'（x₁），h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增，
又h（0）＝0，所以x＞0时，h（x）＞0，
所以f（x+x₂）﹣f（x₁）﹣xf'（x₁）＞0，
所以f（x+x₂）＞f（x₁）+xf'（x₁），
因此f（x₁+x₂）＞f（x₁）+x₂f'（x₁）恒成立，
原不等式恒成立，得证．

[点评]

本题考查了"类比推理，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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