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2024-2025学年陕西省西安市长安一中高二（上）第二次质检数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(11小题共58分)

1. （本题5分）设集合A＝{x|x＜2}，B＝{y|y＝2^x﹣1}，则A∩B＝（　　）

A.（﹣∞，3

B.[2，3）

C.（﹣∞，2）

D.（﹣1，2）

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2. （本题5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组
的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（　　）

A.32

B.40

C.48

D.56

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3. （本题5分）已知非零向量

、

满足

，则

与

的夹角的余弦值是（　　）

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4. （本题5分）函数f（x）＝2cosx+cos2x（x∈R）的最小值是（　　）

A.﹣3

B.﹣

C.﹣1

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5. （本题5分）已知椭圆E：

的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）

A.	B.
C.	D.

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6. （本题5分）将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图像向右平移

个单位长度，所得图像关于直线x＝π对称，则ω的最小值是（　　）

B.2

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7. （本题5分）已知双曲线

（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，在其渐近线上存在一点P，满足||PF₁|﹣|PF₂||＝2b，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）

A.（1，

）

B.（

，2）

C.（

，

）

D.．（2，3）

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8. （本题5分）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥BC，AC＝2CB＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A.32π

B.40π

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9. （本题6分）已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，且

，则使得

为整数的正整数n的取值为（　　）

A.3

B.．4

C.．7

D.．14

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10. （本题6分）意大利数学家列昂纳多•斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{a_n}满足：a₁＝1，a₂＝1，a_n＝a_n_﹣1+a_n_﹣2（n≥3，n∈N^*）．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S_n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c_n，则下列结论正确的是（　　）

A.S_n₊₁＝a_n₊₁²+a_n₊₁•a_n

B.a₁+a₂+a₃+…+a_n＝a_n₊₂﹣1

C.a₁+a₃+a₅+…+a_2n﹣1＝a_2n﹣1

D.4（c_n﹣c_n_﹣1）＝πa_n_﹣2•a_n₊₁

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11. （本题6分）在数学史上，把平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为（Cassinioval）卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两个定点F₁（﹣1，0），F₂（1，0）的距离之积等于3，化简得曲线C的方程为：

，则下列结论正确的是（　　）

A.曲线C关于y轴对称

B.△F₁PF₂面积的最大值为2

C.|PF₁|+|PF₂|的最小值为

D.．|OP|的取值范围为

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二、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）已知等比数列{a_n}的各项均为正数，若log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₂＝12，则a₆a₇等于　　．

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13. （本题5分）若关于x的方程x²﹣x+a＝0和x²﹣x+b＝0（a≠b）的四个根组成首项为

的等差数列，则a+b的值是　．

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14. （本题5分）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（﹣

，0），过点F的直线与此抛物线交于A、B两点，若|AB|＝12，且tan∠AMB＝2

，则p＝　　．

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三、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）设f（x）＝sinxcosx﹣cos²（x+

）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（

）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

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16. （本题15分）记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₂＝11，S₁₀＝40．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

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17. （本题15分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，AC⊥AB，AB＝AA₁＝2，AC＝3，∠A₁AB＝120°，E，F分别为棱A₁B₁，BC的中点，G为线段CF的中点．
（1）证明：A₁G∥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．

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18. （本题17分）已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁a₂a₃…a_n＝

（n∈N^*）．若{a_n}为等比数列，且a₁＝2，b₃＝6+b₂．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）设c_n＝

（n∈N^*）．记数列{c_n}的前n项和为S_n．
（i）求S_n；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N^*均有S_k≥S_n．

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19. （本题17分）已知椭圆

的左焦点为F₁，离心率为

，过F₁的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时，|MN|＝3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过点H（0，﹣1）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围．

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dygzsxyn

2024-12-18

高中数学 | 考试 | 难度:2

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