意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人斐波那契数列被誉为是最美的数列斐波那契数列满足若将数列的每一项按照下图方法放进格子里每一小格子的边长为记前项所占的格子的面积之和为每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为则下列结论正确的是

首页 > 试题列表 > 单题解析

166381. （2024•长安区一中•高二上二月）意大利数学家列昂纳多•斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{a_n}满足：a₁＝1，a₂＝1，a_n＝a_n_﹣1+a_n_﹣2（n≥3，n∈N^*）．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S_n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c_n，则下列结论正确的是（　　）

A.S_n₊₁＝a_n₊₁²+a_n₊₁•a_n

B.a₁+a₂+a₃+…+a_n＝a_n₊₂﹣1

C.a₁+a₃+a₅+…+a_2n﹣1＝a_2n﹣1

D.4（c_n﹣c_n_﹣1）＝πa_n_﹣2•a_n₊₁

共享时间:2024-12-18 难度:1

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

数列与函数的综合，

[答案]

ABD

[解析]

解：a₁＝1，a₂＝1，a_n＝a_n_﹣1+a_n_﹣2（n≥3，n∈N^*），
对于A，S_n₊₁＝a_n₊₁²+a_n₊₁•a_n，当n＝1时，S₂＝1+1＝2，a₂²+a₂a₁＝2，等式成立；
假设n＝k时，S_k₊₁＝a_k₊₁²+a_k₊₁•a_k，n＝k+1时，S_k₊₂＝S_k₊₁+a_k₊₂²＝a_k₊₁²+a_k₊₁•a_k+a_k₊₂²＝a_k₊₂²+a_k₊₁•（a_k+a_k₊₁）＝a_k₊₂²+a_k₊₂•a_k₊₁，
则n＝k+1，等式也成立，故A正确；
对于B，a₁+a₂+a₃+…+a_n＝a_n₊₂﹣1，当n＝1时，a₁＝a₃﹣1成立；
假设n＝k时，a₁+a₂+a₃+…+a_k＝a_k₊₂﹣1，
当n＝k+1时，等式左边＝a₁+a₂+a₃+…+a_k+a_k₊₁＝a_k₊₂﹣1+a_k₊₁＝a_k₊₃﹣1，
则n＝k+1，等式也成立，故B正确；
由题意，a₁＝1，a₃＝2，a₄＝3，a₅＝5，a₆＝8，a₇＝13，
∴a₁+a₃＝3≠a₄﹣1，a₁+a₃+a₅＝8≠a₆﹣1，故C错误；
对于D，c_n＝