在数学史上把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中动点到两个定点的距离之积等于化简得曲线的方程为则下列结论正确的是曲线关于轴对称面积的最大值为的最小值为的取值范围为

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166382. （2024•长安区一中•高二上二月）在数学史上，把平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为（Cassinioval）卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两个定点F₁（﹣1，0），F₂（1，0）的距离之积等于3，化简得曲线C的方程为：

，则下列结论正确的是（　　）

A.曲线C关于y轴对称

B.△F₁PF₂面积的最大值为2

C.|PF₁|+|PF₂|的最小值为

D.．|OP|的取值范围为

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[考点]

轨迹方程，

[答案]

ACD

[解析]

解：根据题意可得y²＝

≥0，
所以x⁴﹣2x²﹣8≤0，解得：﹣2≤x≤2，
令t＝

，则t∈[3，5]，
所以y²＝﹣

＝﹣

（t﹣2）²+

∈[0，2]．
所以y∈

，
对于A选项，方程中的x换成﹣x方程不变，所以曲线C关于y轴对称，A选项正确；
对于B选项，因为△F₁PF₂面积为

，
所以△F₁PF₂面积的最大值为

，所以B选项错误；
对于C选项，∵|PF₁|+|PF₂|＝|PF₁|+

，
当且仅当|PF₁|＝

，即P（0，

）时，等号成立，所以C选项正确；
对于D选项，因为

∈[2，4]，
所以OP的取值范围为[

，2]，所以D选项正确．
故选：ACD．

[点评]

本题考查了"轨迹方程，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166618. （2024•高新一中•二模）已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的体积为8，线段CC₁，BC的中点分别为E，F，动点G在下底面A₁B₁C₁D₁内（含边界），动点H在直线AD₁上，且GE＝AA₁，则（　　）

A.三棱锥H﹣DEF的体积为定值

B.动点G的轨迹长度为

C.不存在点G，使得EG⊥平面DEF

D.四面体DEFG体积的最大值为

共享时间:2024-03-18 难度:1 相似度:2

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236497. （2016•西安一中•高二上期末）已知两定点F₁（﹣4，0），F₂（4，0），点P是平面上一动点，且|PF₁|+|PF₂|＝9，则点P的轨迹是（　　）

A.．圆

B.．直线

C.椭圆

D.．线段

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236386. （2017•高新一中•高二上期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P为棱A₁B₁中点，点Q在侧面DCC₁D₁内运动，若∠PBQ＝∠PBD，则动点Q的轨迹所在曲线为（　　）

A.．圆

B.椭圆

C.．双曲线

D.．抛物线

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233310. （2023•西工大附中•高一下二月）已知长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形且边长为1，侧棱AA₁长为2，以A₁为球心，

为半径的球面与侧面CDD₁C₁的交线长为（　　）

A.．

B.．π

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232950. （2023•交大附中•高三上六月）正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为BB₁，CC₁的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面AB₁N，则动点P的轨迹面积是（　　）

A.5

B.5

C.．

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231820. （2025•西工大附中•高二下一月）平面直角坐标系中，等边△ABC的边长为

，M为BC中点，B，C分别在射线

，

上运动，记M的轨迹为C₁，则（　　）

A.C₁为部分圆

C.C₁为部分线段

B.．C₁为部分抛物线

D.．C₁为部分椭圆

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231435. （2016•西工大附中•六模）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若

＝λ

•

，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（　　）

A.圆

B.椭圆

C.．双曲线

D.．抛物线

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231411. （2016•西工大附中•六模）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若

＝λ

•

，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（　　）

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.．抛物线

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230925. （2017•西工大附中•八模）已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，其表面上的动点T到底面ABCD的中心O的距离为

，则线段TO的中点的轨迹长度为（　　）

A.π

B.2π

C.．3π

D.．4π

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230757. （2022•临潼区•一模）已知向量

，

，且

．若点（x，y）的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（　　）

A.（﹣2，1）

B.（1，﹣2）

C.（﹣1，2）

D.（2，﹣1）

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230734. （2022•临潼区•一模）已知向量

，

，且

．若点（x，y）的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（　　）

A.（﹣2，1）

B.．（1，﹣2）

C.．（﹣1，2）

D.（2，﹣1）

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171710. （2023•西安八十五中•高二上期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足