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2017-2018学年陕西省西安市雁塔区高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:100分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(10小题共30分)

1. （本题3分）复数z满足

，i为虚数单位，则

为（　　）

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2. （本题3分）下列结论中正确的是（　　）

A.若直线l与平面a内无数条直线平行，则l一定与a平行

B.若直线l写平面α垂直，则l一定垂直于直于α内意一条直线

C.．若平面α与平面β均垂直于平面γ，则α一定平行于β

D.．空间中，经过三点一定可以确定一个平面

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3. （本题3分）由抛物线y＝x²与直线y＝2x围成的封闭图形的面积为（　　）

A.8

B.．

C.．

D.．4

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4. （本题3分）已知直线2x+my﹣8＝0与圆C：（x﹣m）²+y²＝4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则m＝（　　）

A.2或14

B.2

C.14

D.．1

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5. （本题3分）直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA₁，则异面直线BA₁与AC₁所成的角等于（　　）

A.．30°

B.．45°

C.60°

D.．90°

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6. （本题3分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x²﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（　　）

A.（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

B.．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）

C.（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）

D.．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）

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7. （本题3分）对任意复数z＝x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）

A.．|z﹣

|＝2y

B.z²＝x²+y²

C.．|z﹣

|≥2x

D.．|z|≤|x|+|y|

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8. （本题3分）若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）＝x³﹣3x²+2x和y＝x²+a都相切，则a的值是（　　）

A.．1

C.．1或

D.．1或﹣

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9. （本题3分）如果函数f（x）＝x﹣

sin2x+asinx在区间[0，

]上递增，则实数a的取值范围是（　　）

A.[﹣1，

]

B.．[﹣1，1]

C.[﹣

，+∞）

D.．[﹣

，+∞）

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10. （本题3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P为棱A₁B₁中点，点Q在侧面DCC₁D₁内运动，若∠PBQ＝∠PBD，则动点Q的轨迹所在曲线为（　　）

A.．圆

B.椭圆

C.．双曲线

D.．抛物线

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二、填空题(4小题共16分)

11. （本题4分）已知两直线l₁：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l₂：6x+（2m﹣1）y＝5，若l₁∥l₁，则实数m等于　　．

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12. （本题4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　　．

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13. （本题4分）已知双曲线

的左、右焦点分别为F₁、F₂，若双曲线上存在点A，使∠F₁AF₂＝90°，且|AF₁|＝3|AF₂|，则双曲线的离心率为　．

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14. （本题4分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝1，AB＝3，BC＝

，

，则该三棱锥外接球的表面积为　　．

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三、解答题(8小题共54分)

15. （本题8分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC．PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求三棱锥P﹣MAC的体积．

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16. （本题12分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF，EF∥AB，M为BC中点．
（1）求证：FM∥平面BDE；
（2）求二面角D﹣BF﹣C的平面角的正弦值．

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17. （本题12分）椭圆C：

的长轴是短轴的两倍，点

在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k₁、k、k₂，且k₁、k、k₂恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．
（1）求椭圆C的方程．
（2）试判断|OA|²+|OB|²是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求S的最大值．

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18. （本题12分）已知函数f（x）＝lnx+

．
（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当a≥

，b＞1时，f（lnb）＞

．

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19. （本题10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数，φ∈[0，

]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，

），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．

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20. （本题0分）．已知函数f（x）＝|a﹣3x|﹣|2+x|；
（1）若a＝2，解不等式f（x）≤3；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|有实数解，求实数a的取值范围．

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21. （本题0分）．设点P（x₁，y₂）在椭圆

上，点Q（x₂，y₂）在直线x+2y﹣8＝0上，求：|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|最小值．

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22. （本题0分）．已知α、β均为锐角，满足sin²α+sin²β＝sin（α+β），求α+β的值．

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dygzsxyn

2017-02-11

高中数学 | 考试 | 难度:1.41

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