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2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（　　）

A.．

C.．

D.．2

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2. （本题5分）已知命题“∃x∈R，2x²+（a﹣1）x+

≤0是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.（﹣∞，﹣1）

B.（﹣1，3）

C.（﹣3，+∞）

D.（﹣3，1）

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3. （本题5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（　　）

A.．30辆

B.300辆

C.．170辆

D.1700辆

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4. （本题5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n²＝

，则当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上（　　）

A.．k²+1

B.（k+1）²

C.．

D.（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²

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5. （本题5分）已知正四面体ABCD的棱长为a．点E，F分别是棱AC，BD的中点，则

的值是（　　）

A.．a²

a²

C.．

a²

D.．

a²

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6. （本题5分）直线y＝4x与曲线y＝x³在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）

A.4

B.．4

C.2

D.．2

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7. （本题5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　）

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.．乙、丁可以知道自己的成绩

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8. （本题5分）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）

A.2，5

B.．5，5

C.．5，8

D.．8，8

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9. （本题5分）已知命题p：x²+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（　　）

A.（﹣∞，1]

B.．[1，+∞）

C.．[﹣1，+∞）

D.（﹣∞，﹣3]

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10. （本题5分）已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，CC₁＝2

，E为CC₁的中点，则直线AC₁与平面BED的距离为（　　）

A.2

B.．

C.．

D.．1

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11. （本题5分）已知双曲线C：

＝1（a＞0，b＞0）与直线

交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＜0，若

，且∠MNQ＝30°，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

B.y＝±x

C.．y＝±2x

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12. （本题5分）设函数f（x）＝e^x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x₀使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是（　　）

A.[

）

B.[

）

C.．[

）

D.．[

）

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取　　名学生．

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14. （本题5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为　．

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15. （本题5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　　．

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16. （本题5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁：

﹣

＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C₂：x²＝2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的离心率为　．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）已知p：“直线x+y﹣m＝0与圆（x﹣1）²+y²＝1相交”；q：“方程mx²﹣x+m﹣4＝0有一正根和一负根”．若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围．

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18. （本题12分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx²，若函数f（x）的图象在x＝1处与直线y＝﹣

相切．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[

，e]上的最大值．

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19. （本题12分）已知过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

＝

+λ

，求λ的值．

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20. （本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

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21. （本题12分）一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）²+y²＝8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y＝kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若

，求△ABO的面积的取值范围．

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22. （本题12分）已知函数

．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，证明：

对于任意的x∈[1，2]成立．

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dygzsxyn

2017-02-02

高中数学 | 考试 | 难度:1.23

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