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德优网2025陕西省西安市长安区高中数学模考模拟

2025年陕西省西安市长安区高考数学二模试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）设集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|log₂x＜2}，则A∩B＝（　　）

A.{x|﹣2≤x＜4}

B.{x|﹣2≤x≤2}

C.．{x|0＜x＜4}

D.．{x|0＜x≤2}

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2. （本题5分）若

，则cos2α＝（　　）

B.．

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3. （本题5分）若复数

是纯虚数，则实数a＝（　　）

C.．

D.．

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4. （本题5分）已知向量

，

，若

，则λ＝（　　）

D.．

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5. （本题5分）设椭圆

＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为B．若|BF₂|＝|F₁F₂|＝4，则该椭圆的方程为（　　）

A.．	B.
C.．	D.．

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6. （本题5分）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（　　）

A.．

B.．2π

C.．

D.．7π

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7. （本题5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

，

＝

，则角A的大小为（　　）

B.．

D.．

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8. （本题5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），当0＜x≤1时，f（x）＝log₂（x+1）．若f（a+1）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）

A.，k∈Z	B.（﹣1+4k，4k），k∈Z
C.，k∈Z	D.．，k∈Z

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）已知双曲线C：

＝1（b＞0）的右焦点为F，直线l：x+by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（　　）

A.C的虚轴长为

B.C的离心率为

C.．|PF|的最小值为

D.．过点P（2，2）能作4条直线与C仅有一个交点

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10. （本题6分）已知函数f（x）＝e^|x|sinx，则下列结论正确的是（　　）

A.f（x）是奇函数

B.f（x）的最小正周期为2π

C.f（x）在区间（﹣π，π）上单调递增

D.f（x）在区间（﹣20π，20π）内有40个极值点

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11. （本题6分）对于正整数n，φ（n）是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数φ（n）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ（10）＝4，（10与1，3，7，9均互质）则（　　）

A.φ（12）+φ（17）＝20

B.数列{φ（2n+1）}是单调递增数列

C.．若p为质数，则数列{φ（pⁿ）}为等比数列

D.．数列的前5项和等于

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）设a，b∈R，且3^a＝6^b＝4，则

＝　．

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13. （本题5分）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为

，乙队获胜的概率为

，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为　．

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14. （本题5分）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2

，且AB⊥BC．记直线PA，PC与平面ABC所成角分别为α，β，已知β＝2α＝60°，当三棱锥P﹣ABC的体积最小时，平面PAC截三棱锥P﹣ABC的外接球的截面面积为　　．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）根据频率分布直方图，求样本的80%分位数（四舍五入精确到整数）；
（3）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．

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16. （本题15分）已知数列{a_n}是等差数列，且a₂＝4，2a₄﹣a₅＝7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_k和a_k₊₁（k∈N^*）之间插入k个相同的数（﹣1）^k⁺¹•k，构成一个新数列{b_n}：a₁，1，a₂，﹣2，﹣2，a₃，3，3，3，a₄，…，求{b_n}的前100项和T₁₀₀．

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17. （本题15分）已知函数f（x）＝ln（x+1）．
（1）讨论函数F（x）＝ax﹣f（x）（a∈R）的单调性；
（2）设函数

．
（ⅰ）求g（1）﹣g（﹣2）的值；
（ⅱ）证明：存在实数m，使得曲线y＝g（x）关于直线x＝m对称．

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18. （本题17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，三角形PAD是正三角形，M是棱PC的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l∥平面ABCD；
（2）证明：BC⊥DM；
（3）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线DM与平面PAB所成角的正弦值．

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19. （本题17分）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线l₁和l₂，且l₁，l₂分别交x轴于点A，B，交l于点M，N．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；
（3）证明：切线三角形PAB的外接圆过定点．

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dygzsxyn

2025-03-26

高中数学 | 模考 | 难度:2.05

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