已知双曲线的右焦点为直线是的一条渐近线是上一点则下列说法中正确的是的虚轴长为的离心率为的最小值为过点能作条直线与仅有一个交点

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230525. （2025•长安区•二模）已知双曲线C：

＝1（b＞0）的右焦点为F，直线l：x+by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（　　）

A.C的虚轴长为

B.C的离心率为

C.．|PF|的最小值为

D.．过点P（2，2）能作4条直线与C仅有一个交点

共享时间:2025-03-26 难度:1

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[考点]

双曲线的离心率，

[答案]

ACD

[解析]

解：已知双曲线C：

＝1（b＞0）的右焦点为F，直线l：x+by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，
又双曲线

的渐近线方程为bx±2y＝0，
则

，
解得

，
所以双曲线

，
对于A，C的虚轴长

，
A正确；
对于B，a＝2，

，

，
则C的离心率

，
B错误；
对于C，点

到直线

的距离为

，
即|PF|的最小值为

，
C正确；
对于D，过点P（2，2）垂直于x轴的直线为x＝2，此直线与双曲线

相切于点P，符合题意，
设过点P（2，2）斜率存在的直线为y﹣2＝k（x﹣2），
联立方程组

，
得（1﹣2k²）x²+8k（k﹣1）x﹣8k²+16k﹣12＝0，
当（1﹣2k²）x²﹣4kmx﹣2（m²+1）＝0，
当1﹣2k²＝0时，即

时，直线平行于渐近线，与双曲线只有一个交点，符合题意，
当1﹣2k²≠0时，Δ＝64k²（k﹣1）²﹣4（1﹣2k²）（﹣8k²+16k﹣12）＝0，
解得

，此时直线与双曲线相切，
故过点P（2，2）能作4条直线与C仅有一个交点，
D正确．
故选：ACD．

[点评]

本题考查了"双曲线的离心率，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是（　　）

A.若a＝3，b＝2，则双曲线C的两条渐近线的方程是

B.．若点P的坐标为，则双曲线C的离心率大于3

C.若PF₁⊥PF₂，则△F₁PF₂的面积等于b²

D.．若双曲线C为等轴双曲线，且|PF₁|＝2|PF₂|，则

共享时间:2025-02-15 难度:5 相似度:2

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2025-03-26

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