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德优网2025陕西省西安市长安区高中数学模考模拟

2025年陕西省西安市长安区高考数学三模试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈Z，且xy＝4}，B＝{（x，y）|x≤y}，则A∩B的子集的个数为（　　）

A.3

B.4

C.．8

D.．16

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2. （本题5分）在复平面内，复数z₁对应的点与复数

对应的点关于实轴对称，则z₁等于（　　）

A.1+i

B.．﹣1﹣i

C.．﹣1+i

D.1﹣i

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3. （本题5分）如图，向量

，

，若A₁，A₂，A₃，A₄为线段AB的5等分点，则

＝（　　）

B.（6，3）

C.．（12，6）

D.．（8，6）

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4. （本题5分）某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（　　）

B.．

C.．

D.．

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5. （本题5分）定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列{a_n}是等方差数列，且公方差为3，a₁＝1，则数列

的前33项的和为（　　）

A.．3

B.．6

C.．2

D.．4

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6. （本题5分）已知曲线

，

，其中a＞0，点A，B，C是曲线C₁与C₂依次相邻的三个交点．若△ABC是等腰直角三角形，则a＝（　　）

C.．

D.．

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7. （本题5分）已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，则当β﹣α的值最大时，β＝（　　）

A.．1

B.2

D.．

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8. （本题5分）函数f（x）的定义域为R，f（3x﹣1）为是奇函数，且f（x﹣1）的图像关于x＝1对称．若曲线f（x）在x＝1处的切线斜率为2，则曲线f（x）在x＝2023处的切线方程为（　　）

A.y＝﹣2x+4046

B.．y＝2x+4046

C.y＝2x﹣4046

D.．y＝﹣2x﹣4046

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）若（x+1）⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵，则下列结论正确的有（　　）

A.a₀＝1

B.数据a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅的30%分位数为5

C.数据a₀+1，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅+3的标准差为3

D.若，随机变量X～N（μ，σ²），，则

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10. （本题6分）已知曲线E：x⁴﹣y⁴﹣2x²+1＝0，则（　　）

A.E不是封闭图形

B.E有4条对称轴

C.．E与坐标轴有4个交点

D.．E与直线有4个交点

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11. （本题6分）随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．已知某种信号的波形可以利用函数f（x）＝sin|2x|﹣|cos2x|的图象近似模拟，则（　　）

A.f（x）是非奇非偶函数

B.．f（x）的值域为

C.当时，关于x的方程f（x）＝t在区间[0，π]上所有不等实根的和为

D.f（x）的图象与的图象恰有6个交点

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）已知向量

，

满足

，

，则向量

在向量

方向上的投影向量的坐标为

，则

＝　．

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13. （本题5分）已知抛物线C：y²＝4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α＝45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为　．

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14. （本题5分）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测试；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试．已知小明每次投篮命中的概率均为

，则小明通过测试的概率为　．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量

＝（a，b+c），

＝（

sinC+cosC，1），

•

＝2（b+c）．
（1）求A；
（2）若

，AM＝2．求△ABC的面积．

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16. （本题15分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数．则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K＝

．
（1）若曲线f（x）＝lnx+x与g（x）＝

在（1，1）处的曲率分别为K₁，K₂，比较K₁，K₂大小；
（2）求正弦曲线h（x）＝sinx（x∈R）曲率的最大值．

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17. （本题15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AB，PB＝PD，底面ABCD是边长为

的菱形，

．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若平面PAB与平面ABCD所成角的正切值为2，点Q满足

，求直线CP与平面ABQ所成角的余弦值．

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18. （本题17分）对于二次曲线Γ：λx²+μy²＝1，我们有：若Q（x′，y′）是曲线Γ上的一点，则过点Q与曲线Γ相切的直线方程为λx′x+μy′y＝1．已知椭圆C₁：

＝1（a＞b＞0），a²＝13b²，动圆C₂：x²+y²＝r²（b＜r＜a），点P（x₀，y₀）是C₁与C₂在第一象限的交点．
（1）求椭圆C₁的离心率e；
（2）过点P作动圆C₂的切线l，l经过椭圆C₁的右焦点F（c，0），求x₀与C满足的关系式；
（3）若b＝1，直线AB与C₁，C₂均相切，切点A在C₁上，切点B在C₂上，求|AB|的最大值．

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19. （本题17分）定义1：若数列{a_n}满足①a₁＝1，②∀n≥2，a_n（a_n﹣1）＝0，则称{a_n}为“两点数列”；定义2：对于给定的数列{a_n}，若数列{b_n}满足①b₁＝1，②b_n₊₁＝|a_n₊₁﹣2a_n|•b_n，则称{b_n}为{a_n}的“生成数列”．已知{a_n}为“两点数列”，{b_n}为{a_n}的“生成数列”．
（1）若

，求{b_n}的前n项和S_n；
（2）设p：{a_n}为常数列，q：{b_n}为等比数列，从充分性和必要性上判断p是q的什么条件；
（3）求b₂₀₂₅的最大值，并写出使得b₂₀₂₅取到最大值的{a_n}的一个通项公式．

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dygzsxyn

2025-04-08

高中数学 | 模考 | 难度:1.68

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