定义若数列满足则称为两点数列定义对于给定的数列若数列满足则称为的生成数列已知为两点数列为的生成数列若求的前项和设为常数列为等比数列从充分性和必要性上判断是的什么条件求的最大值并写出使得取到

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230516. （2025•长安区•三模）定义1：若数列{a_n}满足①a₁＝1，②∀n≥2，a_n（a_n﹣1）＝0，则称{a_n}为“两点数列”；定义2：对于给定的数列{a_n}，若数列{b_n}满足①b₁＝1，②b_n₊₁＝|a_n₊₁﹣2a_n|•b_n，则称{b_n}为{a_n}的“生成数列”．已知{a_n}为“两点数列”，{b_n}为{a_n}的“生成数列”．
（1）若

，求{b_n}的前n项和S_n；
（2）设p：{a_n}为常数列，q：{b_n}为等比数列，从充分性和必要性上判断p是q的什么条件；
（3）求b₂₀₂₅的最大值，并写出使得b₂₀₂₅取到最大值的{a_n}的一个通项公式．

共享时间:2025-04-08 难度:2

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[考点]

数列的应用，数列的求和，

[答案]

（1）

；（2）p是q的充要条件；（3）b₂₀₂₅的最大值为2¹⁰¹²，

．

[解析]

解：（1）依题意

故

因为b₁＝1，所以b₂＝2b₁＝2，
当n为奇数时，b_n₊₂＝b_n₊₁＝2b_n，
当n为偶数时，b_n₊₂＝2b_n₊₁＝2b_n，即{b_n}的奇数项，偶数项分别成等比数列．
故当n为偶数时，

＝

．
当n为奇数时，

．
综上所述，

；
（2）充分性：因为a₁＝1，所以a_n＝1，
所以b_n₊₁＝|a_n₊₁﹣2a_n|b_n＝b_n，
又因为b₁＝1≠0，所以{b_n}是以1为首项，1为公比的等比数列，
故p是q的充分条件．
必要性：假设{b_n}为等比数列，而{a_n}不为常数列，
则{a_n}中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为a_k，其中k＞1，
所以b_k＝|a_k﹣2a_k_﹣1|b_k_﹣1＝2b_k_﹣1，
则等比数列{b_n}的公比为

．
又b_k₊₁＝|a_k₊₁|b_k，得等比数列{b_n}的公比为|a_k₊₁|≤1，与（*）式矛盾，
所以假设不成立，所以当{b_n}为等比数列时，{a_n}为常数列，
故p是q的必要条件．
综上，可知p是q的充要条件．
（3）当a_n＝1，a_n₊₁＝1时，b_n₊₁＝b_n，当a_n＝1，a_n₊₁＝0时，b_n₊₁＝2b_n，
当a_n＝0，a_n₊₁＝1时，b_n₊₁＝b_n，当a_n＝0，a_n₊₁＝0时，b_n₊₁＝0．
综上所述，b_n₊₂＝b_n或b_n₊₂＝2b_n或b_n₊₂＝0（上述四种情形每种中a_n₊₂＝0或1）．
又由题意可知b_n≥0，所以b_n₊₂≤2b_n，
所以

，故b₂₀₂₅的最大值为2¹⁰¹²，
此时{a_n}的通项公式可以是

．

[点评]

本题考查了"数列的应用，数列的求和，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169192. （2020•交大附中•三模）在等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），且满足a₄＝2，a₃²+2a₂a₆+a₃a₇＝25．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n＝log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当

取最大值时，求n的值．

共享时间:2020-04-15 难度:1 相似度:1.5

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167368. （2024•长安区•高二下一月）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝n²+6n﹣2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）判断数列

是否为等比数列；
（3）证明：数列{a_2n}为等差数列，并求该数列的前n项和T_n．

共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:1.5

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170056. （2023•西工大附中•高二上期末）已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且

，a₁＝1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

共享时间:2023-03-01 难度:1 相似度:1.5

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170122. （2023•铁一中学•高三上期末）已知等差数列{a_n}（n∈N⁺）中，a_n₊₁＞a_n，a₂a₉＝232，a₄+a₇＝37．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若将数列{a_n}的项重新组合，得到新数列{b_n}，具体方法如下：b₁＝a₁，b₂＝a₂+a₃，b₃＝a₄+a₅+a₆+a₇，b₄＝a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此类推，第n项b_n由相应的{a_n}中2ⁿ^﹣1项的和组成，求数列{b_n

}的前n项和T_n．

共享时间:2023-02-08 难度:1 相似度:1.5

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169010. （2020•西安中学•一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且n，a_n，S_n成等差数列，b_n＝2log₂（1+a_n）﹣1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}中去掉数列{a_n}的项后余下的项按原顺序组成数列{c_n}，求c₁+c₂+…+c₁₀₀的值．

共享时间:2020-03-12 难度:1 相似度:1.5

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168801. （2021•西工大附中•十三模）在等差数列{a_n}中，a₃+a₄＝12，公差d＝2，记数列{a_2n﹣1}的前n项和为S_n．
（1）求S_n；
（2）设数列{

}的前n项和为T_n，若a₂，a₅，a_m成等比数列，求T_m．

共享时间:2021-07-22 难度:1 相似度:1.5

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168410. （2021•西安中学•十模）已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁＝9，a_n₊₁＝10a_n+9，b_n＝a_n+1．
（1）证明：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{（﹣1）ⁿlgb_n}的前n项和S_n．

共享时间:2021-07-03 难度:1 相似度:1.5

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169675. （2024•西电附中•高二上期末）在①a₈＝9，②S₅＝20，③a₂+a₉＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*，_____，_____．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n＝

，求数列{b_n}的前n项和T_n．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．

共享时间:2024-02-14 难度:1 相似度:1.5

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167624. （2024•师大附中•十模）数列{a_n}的前n项的最大值记为M_n，即M_n＝max{a₁，a₂，…，a_n}；前n项的最小值记为m_n，即m_n＝min{a₁，a₂，…，a_n}，令p_n＝M_n﹣m_n，并将数列{p_n}称为{a_n}的“生成数列”．
（1）设数列{p_n}的“生成数列”为{q_n}，求证：p_n＝q_n；
（2）若a_n＝2ⁿ﹣3n，求其生成数列{p_n}的前n项和．

共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:1.5

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230747. （2022•临潼区•一模）已知数列{a_n}的前n项积

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n＝log₂a_n，数列{b_n}的前n项为S_n，求S_n的最小值．

共享时间:2022-03-04 难度:1 相似度:1.5

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167280. （2023•长安区一中•高三上五月）在数列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝3，且对任意的n∈N^*，都有a_n₊₂＝3a_n₊₁﹣2a_n．
（Ⅰ）证明数列{a_n₊₁﹣a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设

，记数列{b_n}的前n项和为S_n，若对任意的n∈N^*都有

，求实数m的取值范围．

共享时间:2023-12-29 难度:1 相似度:1.5

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230770. （2022•临潼区•一模）已知数列{a_n}的前n项积

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n＝log₂a_n，数列{b_n}的前n项为S_n，求S_n的最小值．

共享时间:2022-03-08 难度:1 相似度:1.5

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167081. （2023•西安中学•高三上四月）已知各项递增的等比数列{a_n}，其前n项和为S_n，满足S₂＝6，S₄＝30．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{b_n}的通项公式为b_n＝2n﹣1，将数列{a_n}与{b_n}中的项按从小到大依次排列构成一个新数列{c_n}，求数列{c_n}的前50项和T₅₀．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:1.5

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166702. （2024•高新一中•高一上一月）排序不等式：设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≤b₂≤…≤b_n为两组实数，c₁，c₂，…，c_n是b₁，b₂，…，b_n的任一排列，那么a₁b_n+a₂b_n_﹣1+…+a_nb₁≤a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n≤a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n即“反序和≤乱序和≤顺序和”．
当且仅当a₁＝a₂＝…＝a_n或b₁＝b₂＝……＝b_n时，反序和等于顺序和．
（1）设a₁，a₂，…，a_n为实数，b₁，b₂，…，b_n是a₁，a₂，…，a_n的任一排列，则乘积的值a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n不会超过_____．
（2）设a₁，a₂，⋯，a_n是n个互不相同的正整数，求证：

．
（3）有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i（i＝1，2，…，10）个人的水桶需要t_i分钟，假定这些t_i各不相同．问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

共享时间:2024-10-24 难度:1 相似度:1.5

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166679. （2024•高新一中•高二上二月）已知数列{a_n}满足

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）在a_n和a_n₊₁之间插入n个数，使得这n+2个数依次构成公差为d_n的等差数列，求数列

的前n项和T_n．

共享时间:2024-12-27 难度:1 相似度:1.5

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2025年陕西省西安市长安区高考数学三模试卷

更新:2025-04-08 03:21浏览量:12

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