已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形侧面展开图是圆心角为的扇形则当的值最大时

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230504. （2025•长安区•三模）已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，则当β﹣α的值最大时，β＝（　　）

A.．1

B.2

D.．

共享时间:2025-04-08 难度:5

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[考点]

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积和侧面积，

[答案]

[解析]

解：设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径

，
侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长C＝lβ，
因此

，

．
记

，α∈（0，π），则

，
因为f′（α）在（0，π）上递减，且f′（0）＝πcos0﹣1＝π﹣1＞0，

，
所以存在唯一的α₀∈（0，π）满足f′（α₀）＝0，即

，
且当α∈（0，α₀）时，f′（α）＞0，则f（α）在（0，α₀）单调递增，
当α∈（α₀，π）时，f′（α）＜0，则f（α）在（α₀，π）单调递减，
故α₀是f（α）的极大值点，也是最大值点．
此时

．
故选：D．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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A.12π

B.14π

C.16π

D.．18π

共享时间:2023-07-20 难度:5 相似度:2

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171876. （2023•长安区一中•高一下期中）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（　　）

A.32π

B.．48π

C.．64π

D.．80π

共享时间:2023-05-15 难度:5 相似度:2

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172212. （2023•西安工业大学附中•高一下期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的侧面积为（　　）

B.．35π

C.．28π

D.64π

共享时间:2023-05-16 难度:5 相似度:2

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231874. （2025•高新一中•高二下一月）．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O₁，O₂，过直线O₁O₂的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）

A.12

B.．12π

C.8

D.．10π

共享时间:2025-04-14 难度:5 相似度:2

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236460. （2016•西安中学•高一上期末）一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为（　　）

B.．24π

C.．15π

D.．20π

共享时间:2016-02-08 难度:5 相似度:2

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dygzsxyn

2025-04-08

高中数学 | | 选择题

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2025年陕西省西安市长安区高考数学三模试卷

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