如图在正方体中分别是的中点证明是梯形求异面直线与所成角

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171984. （2023•唐南中学•高一下期中）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、AA₁的中点．
（1）证明：EFD₁C是梯形；
（2）求异面直线EF与BC₁所成角．

共享时间:2023-05-27 难度:1

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[考点]

异面直线及其所成的角，

[答案]

（1）证明见解析；（2）

．

[解析]

（1）证明：连接A₁C，D₁C，
∵E、F分别是AB、AA₁的中点，
∴EF∥A₁B，EF＝

，
在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁D₁∥B₁C₁，且A₁D₁＝B₁C₁，
而B₁C₁∥BC，且B₁C₁＝BC，
∴A₁D₁∥BC，且A₁D₁＝BC，
∴四边形A₁BCD₁为平行四边形，
∴A₁B∥D₁C，且A₁B＝D₁C，
∴EF∥D₁C，EF＝

D₁C，
∴EFD₁C是梯形；
（2）解：∵EF∥A₁B，连接A₁B，A₁C₁，
∴∠C₁BA₁即为异面直线EF与BC₁所成的角，
设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的边长为a，
则易得

，
∴△C₁BA₁为等边三角形，
∴

，
故异面直线EF与BC₁所成的角为

．

[点评]

本题考查了"异面直线及其所成的角，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166586. （2024•华清中学•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，∠ADC＝45°，PA⊥，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，AD＝3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小．
（2）求直线AD到平面PBC的距离．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:1.5

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167214. （2023•周至四中•高二上一月）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．

共享时间:2023-10-15 难度:2 相似度:1.5

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169032. （2020•西安中学•三模）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（Ⅰ）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（Ⅱ）设PO＝4，OA，OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的正切值．

共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:1.5

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169877. （2023•长安区一中•高一下期末）如图1，在Rt△中，AB⊥BC，AC＝12，∠BAC＝

，E，F都在AC上，且AE：EF：FC＝3：4：5，BE∥FG，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，C在点P处重合，得到四棱锥P﹣EFGB，如图2．
（1）求异面直线PF，BG所成角的余弦值；
（2）若M为PB的中点，求钝二面角B﹣FM﹣E的余弦值．

共享时间:2023-07-01 难度:2 相似度:1.5

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170057. （2023•西工大附中•高二上期末）棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是DD₁，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝

CD．
（Ⅰ）证明：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求cos＜

，

＞．

共享时间:2023-03-01 难度:2 相似度:1.5

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170123. （2023•铁一中学•高三上期末）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝

，A₁C与底面ABCD所成的角为45°．
（1）求四棱锥A₁﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线A₁B与B₁D₁所成角的大小．

共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:1.5

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171845. （2022•西安中学•高二上期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别是DD₁，BD，BB₁的中点．
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求EF与CG所成角的余弦值．

共享时间:2022-11-28 难度:2 相似度:1.5

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171162. （2024•西安八十五中•高二上期中）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝

AD，
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

共享时间:2024-11-25 难度:3 相似度:1.33

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170301. （2022•西安中学•高二上期末）如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC＝4，AB＝8，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点A′的位置，且A′D⊥BD，连接A′B，A′C，得到如图乙所示的四棱锥A′﹣DBCE，M为线段A′D上一点．

（Ⅰ）证明：平面A′DB⊥平面DBCE；
（Ⅱ）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A′BC所成角的正弦值．
①BM＝BE；
②直线EM与BC所成角的大小为45°；
③三棱锥M﹣BDE的体积是三棱锥E﹣A'BC体积的

．

共享时间:2022-02-23 难度:4 相似度:1.25

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2023-05-27

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2022-2023学年陕西省西安市雁塔区唐南中学高一（下）期中数学试卷

更新:2023-05-27 01:14浏览量:6

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