如图在正方体中分别是的中点证明是梯形求异面直线与所成角

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171984. （2023•唐南中学•高一下期中）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、AA₁的中点．
（1）证明：EFD₁C是梯形；
（2）求异面直线EF与BC₁所成角．

共享时间:2023-05-27 难度:1

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[考点]

异面直线及其所成的角，

[答案]

（1）证明见解析；（2）

．

[解析]

（1）证明：连接A₁C，D₁C，
∵E、F分别是AB、AA₁的中点，
∴EF∥A₁B，EF＝

，
在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁D₁∥B₁C₁，且A₁D₁＝B₁C₁，
而B₁C₁∥BC，且B₁C₁＝BC，
∴A₁D₁∥BC，且A₁D₁＝BC，
∴四边形A₁BCD₁为平行四边形，
∴A₁B∥D₁C，且A₁B＝D₁C，
∴EF∥D₁C，EF＝

D₁C，
∴EFD₁C是梯形；
（2）解：∵EF∥A₁B，连接A₁B，A₁C₁，
∴∠C₁BA₁即为异面直线EF与BC₁所成的角，
设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的边长为a，
则易得

，
∴△C₁BA₁为等边三角形，
∴

，
故异面直线EF与BC₁所成的角为

．

[点评]

本题考查了"异面直线及其所成的角，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167214. （2023•周至四中•高二上一月）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．

共享时间:2023-10-15 难度:2 相似度:1.5

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236693. （2016•交大附中•高二上期末）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE，DB＝DE，∠BAE＝∠BDE＝90°
（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．

共享时间:2016-02-10 难度:2 相似度:1.5

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236241. （2017•西安中学•高二上期末）如图，EA⊥面ABC，BD⊥面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点，
（1）求直线EM与CD所成角的大小；
（2）求直线EM与平面BCD所成角的余弦值．

共享时间:2017-02-20 难度:2 相似度:1.5

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236108. （2018•西安中学•高二上期末）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA₁，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B₁C；
（2）求异面直线AE与A₁C所成的角的大小；
（3）若G为C₁C中点，求二面角C﹣AG﹣E的正切值．

共享时间:2018-02-04 难度:2 相似度:1.5

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233582. （2023•西安工业大学附中•高一下二月）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁边长为2，E、F分别为AD₁，CD₁中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求异面直线EF与B₁C₁所成角的大小．

共享时间:2023-06-14 难度:2 相似度:1.5

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232656. （2023•鄠邑二中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（2）求点D到平面PBC的距离．

共享时间:2023-10-11 难度:2 相似度:1.5

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172419. （2022•西安中学•高二下期中）在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点．
（1）求

；
（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；
（3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值的绝对值．

共享时间:2022-05-17 难度:2 相似度:1.5

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166586. （2024•华清中学•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，∠ADC＝45°，PA⊥，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，AD＝3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小．
（2）求直线AD到平面PBC的距离．