棱长为的正方体中分别是的中点在棱上且证明求

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170057. （2023•西工大附中•高二上期末）棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是DD₁，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝

CD．
（Ⅰ）证明：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求cos＜

，

＞．

共享时间:2023-03-01 难度:2

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[考点]

异面直线及其所成的角，直线与平面垂直，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：分别以三直线DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
E（0，0，1），F（1，1，0），B₁（2，2，2），C（0，2，0），C₁（0，2，2），
（Ⅰ）证明：∵

，
∴

，
∴EF⊥B₁C；
（Ⅱ）∵

，
∴

，

，
∴

＝

．

[点评]

本题考查了"异面直线及其所成的角，直线与平面垂直，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

261. （2014•陕西省•真题）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．

共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:1

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169008. （2020•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:1

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168456. （2021•西安中学•七模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:1

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168573. （2021•西安中学•九模）．如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为A₁B₁的中点O，且AC：BC：AB：AA₁＝1：1：

：2．
（1）求证：AB⊥平面OCC₁；
（2）若CO＝

，求点C到平面ABO的距离．

共享时间:2021-06-30 难度:2 相似度:1

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168619. （2021•西安中学•二模）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点．
（Ⅰ）证明：直线DM⊥平面BMC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

共享时间:2021-03-17 难度:2 相似度:1

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168641. （2021•西安中学•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-26 难度:2 相似度:1

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168711. （2021•西安中学•仿真）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:1

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168734. （2021•西安中学•仿真）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．

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168779. （2021•西安中学•八模）如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB＝AA₁＝

．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

共享时间:2021-06-19 难度:2 相似度:1

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168918. （2021•高陵一中•二模）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点．
（Ⅰ）证明：直线DM⊥平面BMC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

共享时间:2021-03-23 难度:2 相似度:1

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168940. （2021•高陵一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-30 难度:2 相似度:1

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169032. （2020•西安中学•三模）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（Ⅰ）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（Ⅱ）设PO＝4，OA，OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的正切值．

共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:1

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22111. （2021•西安中学•二模） $德优题库$ 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB=∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D-AA₁-C的正弦值．

共享时间:2021-03-18 难度:3 相似度:1

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169077. （2020•西工大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．
（1）证明：DE⊥平面ABCD；
（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为

，求λ的值．

共享时间:2020-04-06 难度:2 相似度:1

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169123. （2020•西工大附中•三模）已知一等腰梯形ABCD，如图（1）所示，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，如图（2）所示，连接BD，得三棱锥D﹣ABC．
（1）求证：图（2）中BC⊥平面ACD；
（2）求图（2）中的二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2020-04-03 难度:2 相似度:1

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2023-03-01

高中数学 | 高二上 | 解答题

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更新:2023-03-01 10:13浏览量:22

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