如图在三棱柱中平面是的中点求证求异面直线与所成的角的大小若为中点求二面角的正切值

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236108. （2018•西安中学•高二上期末）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA₁，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B₁C；
（2）求异面直线AE与A₁C所成的角的大小；
（3）若G为C₁C中点，求二面角C﹣AG﹣E的正切值．

共享时间:2018-02-04 难度:2

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[考点]

异面直线及其所成的角，几何法求解二面角及两平面的夹角，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

证明：（1）因为BB₁⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB₁﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
由AB＝AC，E为BC的中点得到AE⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵BC∩BB₁＝B∴AE⊥面BB₁C₁C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴AE⊥B₁C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
解：（2）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，
则AE∥A₁E₁，
∴∠E₁A₁C是异面直线AE与A₁C所成的角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
设AC＝AB＝AA₁＝2，则由∠BAC＝90°，
可得A₁E₁＝AE＝

，A₁C＝2

，E₁C₁＝EC＝

BC＝

∴E₁C＝

＝

∵在△E₁A₁C中，cos∠E₁A₁C＝

＝

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
所以异面直线AE与A₁C所成的角为

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC﹣﹣﹣﹣（10分）
又∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁
∴EP⊥平面ACC₁A₁﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
由EP＝1，AP＝1，PQ＝

，得tan∠PQE＝

＝

所以二面角C﹣AG﹣E的平面角正切值是

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）

[点评]

本题考查了"异面直线及其所成的角，几何法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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