已知圆锥的顶点为底面圆心为半径为设圆锥的母线长为求圆锥的体积设是底面半径且为线段的中点如图求异面直线与所成的角的正切值

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169032. （2020•西安中学•三模）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（Ⅰ）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（Ⅱ）设PO＝4，OA，OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的正切值．

共享时间:2020-04-01 难度:2

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）由圆锥母线长为4，即PB＝4，底面半径OB＝2，
可得圆锥的高PO＝

．
∴该圆锥的体积V＝

；
（2）∵PO⊥底面AOB，∴PO⊥OB，
又∠AOB＝90°，即OB⊥OA，PO∩OA＝O，
∴OB⊥平面POA，
取OA中点H，连接MH，则MH∥OB，且MH＝

．
∴∠PMH为异面直线PM与OB所成的角．
由OB⊥平面POA，MH∥OB，可得MH⊥平面POA，得MH⊥PH．
在Rt△POH中，求得PH＝

，
在Rt△PHM中，可得tan∠PMH＝

＝

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170123. （2023•铁一中学•高三上期末）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝

，A₁C与底面ABCD所成的角为45°．
（1）求四棱锥A₁﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线A₁B与B₁D₁所成角的大小．

共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:2

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172047. （2023•铁一中学•高一下期中）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BC＝AA₁＝1，

，

，P为线段BC₁上的动点．
（1）当P为线段BC₁上的中点时，求三棱锥B﹣PAC的体积；
（2）当P在线段BC₁上移动时，求AP+CP的最小值．

共享时间:2023-05-21 难度:1 相似度:1.5

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167370. （2024•长安区•高二下一月）将一条长为6的铁丝截成9段，拼成一个正三棱柱，求该三棱柱体积的最大值．

共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:1.5

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168526. （2021•西安中学•六模）如图三棱锥A﹣BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
（1）求证：EH∥AB；
（2）若四边形EFGH是边长为1的正方形，且点E是AD的中点，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2，AC＝2

，求三棱锥A﹣BCD的体积．

共享时间:2021-05-18 难度:1 相似度:1.5

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170301. （2022•西安中学•高二上期末）如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC＝4，AB＝8，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点A′的位置，且A′D⊥BD，连接A′B，A′C，得到如图乙所示的四棱锥A′﹣DBCE，M为线段A′D上一点．

（Ⅰ）证明：平面A′DB⊥平面DBCE；
（Ⅱ）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A′BC所成角的正弦值．
①BM＝BE；
②直线EM与BC所成角的大小为45°；
③三棱锥M﹣BDE的体积是三棱锥E﹣A'BC体积的