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2023-2024学年陕西省西安八十三中高二（下）期中数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩B＝（　　）

A.{﹣1，0}

B.．{1}

C.．

D.．

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2. （本题5分） i为虚数单位，则i•（1﹣2i）＝（　　）

A.2+i

B.．2﹣i

C.．﹣2+i

D.．﹣2﹣i

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3. （本题5分）已知向量

，

，则与向量

共线的向量的坐标可以是（　　）

A.（﹣3，1）

B.．（﹣8，3）

C.（﹣9，4）

D.．（3，﹣2）

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4. （本题5分）奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）＝f（x+12），且f（﹣8）＝﹣1，则f（2024）＝（　　）

A.﹣1

B.0

C.．1

D.．2

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5. （本题5分）为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（　　）

A.62

B.63

C.．64

D.．65

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6. （本题5分）已知2^m＝9ⁿ＝36，则

＝（　　）

A.．log₆18

B.．

C.．1

D.．log₆5

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7. （本题5分）函数

的部分图像大致是（　　）

B.．

D.．

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8. （本题5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

，则c＝（　　）

A.．

C.．

D.．2

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9. （本题5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A.估计众数为43

B.估计中位数是

C.．估计平均数为43

D.支出在[50，60）的频率为0.25

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10. （本题5分）已知函数

（x∈R），下列结论正确的是（　　）

A.函数f（x）的最小正周期为π

B.函数f（x）是偶函数

C.函数f（x）的图象关于直线对称

D.函数f（x）在区间上是增函数

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11. （本题5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，AA₁＝AB＝6，E，F分别为BB₁，A₁C₁的中点，记过A，E，F三点的平面与B₁C₁的交点为D，则下列说法正确的是（　　）

A.D为B₁C₁的中点

B.三棱锥B₁﹣DEF的体积为

C.截面AEDF的周长为

D.．截面AEDF的面积为24

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12. （本题5分）设

，x∈R，n∈N^*，则下列结论中正确的是（　　）

B.当n≥3时，2a₂+6a₃+…+n（n﹣1）a_n＝4n（n﹣1）

C.．若|a₈|＞|a₇|，|a₈|＞|a₉|，则n＝12

D.．当，n＝2024时，（1﹣2x）ⁿ＞5

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1）（n∈N），则n＝　　．

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14. （本题5分）若实数a，b满足a²+b²＝1，则

的最小值为　．

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15. （本题5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，

）的部分图象如图所示，直线

是它的一条对称轴，则函数f（x）的解析式为　．

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16. （本题5分）已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有

的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是　．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）已知函数f（x）＝x³﹣x²﹣ax+2在x＝1时取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．

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18. （本题12分） △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．
（1）求角C．
（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为2，求CD²的最小值．

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19. （本题12分）一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．
（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；
（2）停止取球时，记总的抽取次数为X，求X的分布列与数学期望：

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20. （本题12分）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为线段BC的中点，AB＝1，AD＝2，AA₁＝

．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面A₁AE；
（Ⅱ）求点A到平面A₁ED的距离．

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21. （本题12分）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）．
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大？
（2）从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好Y＝5时的概率（不用化简）及Y的方差．

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22. （本题12分）已知椭圆C：

过点

，过其右焦点F₂且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：

与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2024-05-17

高中数学 | 段考 | 难度:1.64

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