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2019-2020学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）抛物线y＝4x²的焦点坐标是（　　）

A.（0，1）

B.（1，0）

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2. （本题5分）已知

＝（2，﹣1，2），

＝（﹣4，2，x），且

∥

，则x＝（　　）

A.．5

B.．4

C.．﹣4

D.．﹣5

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3. （本题5分）给出下列命题：
①若空间向量

，

满足|

|＝|

|，则

＝

；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量

，由

，则

；
④在向量的数量积运算中

．
其中假命题的个数是（　　）

A.1

B.．2

C.．3

D.．4

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4. （本题5分）下列命题，正确的是（　　）

A.．命题“∃x₀∈R，使得x₀²﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x²﹣1＞0”

B.．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题

C.．命题“若x²＝y²，则x＝y”的逆否命题是真命题

D.命题“若x＝3，则x²﹣2x﹣3＝0”的否命题是“若x≠3，则x²﹣2x﹣3≠0”

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5. （本题5分）过抛物线y²＝6x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，如果x₁+x₂＝6，那么|AB|＝（　　）

A.．10

B.．9

C.．6

D.．4

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6. （本题5分）设

，

是非零向量，则“

，

共线”是“|

|＝|

|+|

|”的（　　）

A.充分而不必要条件	B.必要而不充分条件
C.．充分必要条件	D.．既不充分也不必要条件

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7. （本题5分）已知椭圆：

＝1的焦距为4，则m等于（　　）

A.4

B.．8

C.．4或8

D.．以上均不对

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8. （本题5分）已知F₁，F₂是双曲线E：

﹣

＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁＝

，则E的离心率为（　　）

A.2

C.．

D.．

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9. （本题5分）已知点A（0，1，0），B（﹣1，0，﹣1），C（2，1，1），P（x，0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（　　）

A.（1，0，﹣2）

B.（1，0，2）

C.（﹣1，0，2）

D.．（2，0，﹣1）

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10. （本题5分） F₁，F₂是椭圆

＝1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（　　）

A.圆

B.．椭圆

C.．双曲线

D.抛物线

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11. （本题5分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱长为3，底面边长A₁C₁＝B₁C₁＝1，且∠A₁C₁B₁＝90°，D点在棱AA₁上且AD＝2DA₁，P点在棱C₁C上，则

的最小值为（　　）

B.．

C.．

D.．

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12. （本题5分）已知椭圆E：

＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于

，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）

A.（0，

]

B.（0，

]

C.．[

，1）

D.[

，1）

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分） O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且

，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝　．

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14. （本题5分）点P是椭圆

＝1上一点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，若|PF₁||PF₂|＝12，则∠F₁PF₂的大小　．

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15. （本题5分）如图：二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于　　．

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16. （本题5分）已知双曲线C：

的左右焦点分别为F₁，F₂，实轴长为6，双曲线C的渐近线方程为

，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：

上一点，则|MN|+|MF₂|的最小值为　　．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）根据下列条件求曲线的标准方程：
（1）准线方程为

的抛物线；
（2）焦点在坐标轴上，且过点

、

的双曲线．

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18. （本题12分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点．求证：
（1）BD₁⊥平面AB₁C；
（2）平面EAC⊥平面AB₁C．

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19. （本题12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AA₁＝2，AC＝BC＝1，且AC⊥BC，M是A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：CB₁∥平面AC₁M；
（Ⅱ）设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ．

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20. （本题12分）一个圆经过点F（2，0），且和直线x+2＝0相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

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21. （本题12分）如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：EM⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出

的值；若不存在，说明理由．

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22. （本题12分）已知

是椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左焦点，O为坐标原点，

为椭圆上的点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点A、B都在椭圆C，上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值，及此时直线AB的方程．

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dygzsxyn

2020-02-15

高中数学 | 考试 | 难度:1.55

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