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2021-2022学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(14小题共70分)

1. （本题5分）已知z＝2﹣i，则

＝（　　）

B.．

C.．﹣1

D.．

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2. （本题5分）已知命题p：cos2α＝﹣

，命题q：

．则p是q的（　　）条件．

A.充分不必要	B.．必要不充分
C.充分必要	D.．既不充分也不必要

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3. （本题5分）设抛物线C：y²＝2px的焦点为F，准线为l．P是抛物线C上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（　　）

A.．经过点P	B.经过点O
C.平行于直线OP	D.．垂直于直线OP

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4. （本题5分）已知命题p：∃n∈N，n²＞2ⁿ；命题q：∀x∈R，e^|x|≥1，则下列命题中为假命题的是（　　）

A.．p∧¬q

B.¬p∨q

C.．p∧q

D.．p∨q

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5. （本题5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　）

C.．

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6. （本题5分）设函数

，则下列函数中为奇函数的是（　　）

A.f（x+1）+1

B.f（x﹣1）+1

C.．f（x+1）﹣1

D.．f（x﹣1）﹣1

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7. （本题5分）观察（x²）′＝2x，（x⁴）′＝4x³，（cosx）′＝﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（　　）

A.．﹣g（x）

B.f（x）

C.﹣f（x）

D.．g（x）

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8. （本题5分）若关于x的方程

有解，则实数a的取值范围为（　　）

A.[4，+∞）

B.．（4，+∞）

C.．[6，+∞）

D.（6，+∞）

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9. （本题5分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4）．函数f（x）＝x²，若在矩形ABCD内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（　　）

C.．

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10. （本题5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

，则

＝（　　）

B.．

C.．

D.．

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11. （本题5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有

，记

，

，则（　　）

A.a＜c＜b

B.a＜b＜c

C.．c＜b＜a

D.b＜c＜a

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12. （本题5分）已知F为抛物线C：y²＝6x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁与C交于A、B两点，直线l₂与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）

A.．24

B.．22

C.．20

D.16

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13. （本题5分）已知函数f（x）＝lnx+x²﹣ax有两个极值点m，n，且m∈[1，2]，则f（m）﹣f（n）的最大值为（　　）

C.．

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14. （本题5分）已知双曲线

的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁且斜率为

的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若

，则双曲线C的离心率是（　　）

A.．

B.．

C.．

D.．2

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二、填空题(6小题共30分)

15. （本题5分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），⋯，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a＝　．

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16. （本题5分）设2^a＝3^b＝m，且

＝2，则m＝　

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17. （本题5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有　个．（用数字作答）

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18. （本题5分）在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°．则异面直线AO与BC的夹角的余弦值为　．

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19. （本题5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x²+y²＝1+|x|y就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是　　．

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20. （本题5分）已知函数f（x）＝2x³﹣3x，若过点M（1，m﹣1）存在三条直线与曲线y＝f（x）相切，测m的取值范围为　　．

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三、解答题(4小题共50分)

21. （本题12分）设S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足2S_n＝n（a₁+a_n）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）若a₃＝5，且a₁，a₂，a₅成等比数列，求数列{a_n}的前4n项和S_4n．

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22. （本题12分）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面为正方形，DH⊥平面ABCD，EH＝DH＝

AD＝1．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）若平面BDG∩平面ADH＝m，求直线m与平面BCG所成角的正弦值．

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23. （本题13分）已知椭圆

（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，|F₁F₂|＝2，离心率e为

．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）C的左顶点为A，过右焦点F₂的直线l交椭圆C于D，E两点，记直线l，AD，AE的斜率分别为k，k₁，k₂，求证：

．

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24. （本题13分）函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，g（x）＝1﹣e^x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

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2022-02-23

高中数学 | 考试 | 难度:1.71

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